（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数和平面向量 第1讲 三角函数与平面向量课件

专题一三角函数和平面向量第1讲三角函数与平面向量回归教材栏目导航举题固法即时评价回归教材1.(必修4P33练习2改编)函数y＝tan2x－π3的定义域为_____________________．x|x≠kπ2＋5π12，k∈Zy＝tanx的定义域为x|x≠kπ＋π2，k∈Z【解析】由题知2x－π3≠kπ＋π2，k∈Z，解得x≠kπ2＋5π12，k∈Z，故其定义域为x|x≠kπ2＋5π12，k∈Z.2.(必修4P39练习2改编)要得到y＝cos2x的图象，只要将y＝sin2x＋π4的图象向左平移最少________个单位长度．π8【解析】y＝cos2x＝sin2x＋π2＝sin2x＋π8＋π4，所以向左平移最少π8个单位长度．“左加右减”：y＝sin(ωx＋φ′)→y＝sin(ωx＋φ)3.(必修4P118复习题9改编)求值：(tan3°＋1)(tan42°＋1)＝________.2tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)【解析】原式＝tan3°tan42°＋tan3°＋tan42°＋1＝tan3°tan42°＋tan(3°＋42°)·(1－tan3°tan42°)＋1＝2.4.(必修4P133习题15改编)函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．1－2【解析】因为f(x)＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋2sin2x＋π4，所以f(x)min＝1－2.转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)5.(必修4P48练习13改编)已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，那么该简谐运动的最小正周期和初相φ分别为____________．T＝6，φ＝π6π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z【解析】由图象可得T＝2(4－1)＝6⇒ω＝2πT＝π3，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sinπ3＋φ＝1，即π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝2kπ＋π6，k∈Z.因为|φ|π2，所以φ＝π6.举题固法目标1求值与求角(1)(2019·南方凤凰台密题)已知sinα－π6＝55，那么sin2α＋π6＝________.35【解析】令t＝α－π6，则sint＝55，α＝t＋π6，所以sin2α＋π6＝sin2t＋π2＝cos2t＝1－2sin2t＝35.(2)(2019·北京东城区调研)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0βπ4απ2，则α＋β的值为________．π3【解析】因为cos(2α－β)＝－1114且π42α－βπ，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4α－2βπ2，所以cos(α－2β)＝17，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4α＋β3π4，所以α＋β＝π3.(1)已知sinπ3－α＝14，那么cosπ3＋2α＝________.－78【解析】由题知sinπ3－α＝sinπ2－π6＋α＝cosπ6＋α＝14，则cosπ3＋2α＝cos2π6＋α＝2cos2π6＋α－1＝－78.(2)(2019·河南六市联考)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，若0βαπ2，则β＝________.π3【解析】由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.由0βαπ2，得0α－βπ2，又cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.因为β∈0，π2，所以β＝π3.目标2三角函数的图象与性质(1)如图，若某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为______________________________．y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]【解析】由题图知，从6～14时是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，因为12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.由图可得A＝12(30－10)＝10，b＝12(30＋10)＝20.因为函数图象经过点(10,20)，所以20＝10sinπ8×10＋φ＋20，又φ∈(0，π)，所以φ＝3π4，所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．(2)(2019·南昌一模)已知函数f(x)＝－2cosωx(ω0)的图象向左平移φ0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数的部分图象如图所示，那么φ的值为________．π12【解析】由题图知，T＝211π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2，所以f(x)＝－2cos2x，所以f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)．由题图知－2cos2×5π12＋2φ＝2，所以5π6＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则φ＝π12＋kπ(k∈Z)．因为0＜φ＜π2，所以φ＝π12.(3)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是________．π4【解析】f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，由题意得a0，所以－a＋π4π4.因为f(x)＝2cosx＋π4在[－a，a]上是减函数，所以－a＋π4≥0，a＋π4≤π，a＞0，解得0a≤π4，所以a的最大值是π4.(4)(2019·天一中学)若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)的单调增区间为____________________．kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)【解析】因为f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)＝2sinωx＋φ＋π3ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f(x)＝2sin2x.令2x∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，得函数f(x)的单调增区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．(1)(2019·南方凤凰台密题)将函数f(x)＝3sin2x－cos2x的图象向左平移t(t0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝gπ12－x，则实数t的最小值为________．7π24【解析】由题意得f(x)＝2sin2x－π6，则g(x)＝2sin2x＋2t－π6，从而2sin2x＋2t－π6＝2sin2π12－x＋2t－π6＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t0，所以当2t－π6＝－2t＋π＋2kπ(k∈Z)，即t＝7π24＋kπ2(k∈Z)时，实数tmin＝7π24.(2)若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是________．32，3【解析】令π2＋2kπ≤ωx≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得π2ω＋2kπω≤x≤3π2ω＋2kπω.因为f(x)在π3，π2上单调递减，所以π2ω＋2kπω≤π3，π2≤3π2ω＋2kπω，得6k＋32≤ω≤4k＋3.又ω0，所以k≥0，由6k＋324k＋3，得0≤k34，所以k＝0，故32≤ω≤3.目标3三角函数与平面向量综合在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，向量m＝(cosA，sinB)，n＝(cosB，sinA)．(1)若acosA＝bcosB，求证：m∥n；【解答】因为acosA＝bcosB，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以m∥n.(2)若m⊥n，ab，求tanA－B2的值．【解答】因为m⊥n，所以cosAcosB＋sinAsinB＝0，即cos(A－B)＝0.因为ab，所以AB，又A，B∈(0，π)，所以A－B∈(0，π)，则A－B＝π2，所以tanA－B2＝tanπ4＝1.在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinβ，cosβ)，c＝－12，32.(1)若|a＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；【解答】因为a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinβ，cosβ)，c＝－12，32，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，且a·b＝－cosαsinβ＋sinαcosβ＝sin(α－β)．因为|a＋b|＝|c|，所以|a＋b|2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝1，所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(2)设α＝5π6，0＜β＜π，且a∥(b＋c)，求β的值．【解答】因为α＝5π6，所以a＝－32，12.由题意知b＋c＝－sinβ－12，cosβ＋32.因为a∥(b＋c)，所以－32cosβ＋32－12－sinβ－12＝0，化简得12sinβ－32cosβ＝12，所以sinβ－π3＝12.因为0＜β＜π，所以－π3＜β－π3＜2π3，所以β－π3＝π6，即β＝π2.即时评价1.(2019·泰州中学)函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为________．－22【解析】由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为－22.2.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的部分图象如图所示，若fπ2＝－23，则f－π6＝________.－23【解析】由题图知，函数f(x)的最小正周期T＝211π12－7π12＝2π3，所以f－π6＝f－π6＋2π3＝fπ2＝－23.3.若锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β＝________.3π4【解析】因为(tanα－1)(tanβ－1)＝2，所以tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＋1＝2，即tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1，所以tan(α＋β)＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝3π4.4.(2019·宿豫中学)已知α，β∈0，π2，且sin(α＋2β)＝13.(1)若α＋β＝2π3，求sinβ的值；【解答】因为α，β∈0，π2，α＋β＝2π3，sin(α＋2β)＝13，所以α＋2β∈2π3，π，所以cos(α＋2β)＝－223，所以sinβ＝sinα＋2β－2π3＝13×－12－－223×32＝26－16.(2)若sinβ＝45，求cosα的值．【解答】因为sinβ＝45，且β∈0，π2，所以cosβ＝35，所以sin2β＝2sinβcosβ＝