（名师讲坛）2020版高考数学二轮复习 专题六 数列 微切口21 数列的奇、偶项问题课件

专题六数列微切口21数列的奇、偶项问题(1)在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，求Sn；【思维引导】•【解答】由an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，•得an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*)，•两式相减，得an＋2－an＝4，•所以数列{a2n－1}是首项为a1，公差为4的等差数列，•数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．•由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1，所以an＝2n，n为奇数，2n－5，n为偶数.•①当n为奇数时，an＝2n，an＋1＝2n－3，•Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an•＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－2＋an－1)＋an＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝n－12×1＋4n－112＋2n＝2n2－3n＋52.•②当n为偶数时，•Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an•＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)•＝1＋9＋…＋(4n－7)＝2n2－3n2.(2)在数列{an}中，已知a1＝2，an·an＋1＝22n－1，求an；【解答】令n＝1，则a1·a2＝2，所以a2＝1，当n≥2时，an－1·an＝22(n－1)－1＝22n－3，所以an＋1an－1＝22＝4，所以数列{an}的奇数项，是以a1＝2为首项，q＝4为公比的等比数列，偶数项是以a2＝1为首项，q＝4为公比的等比数列，所以an＝2·2n－1，n为奇数，1·2n－2，n为偶数＝2n，n为奇数，2n－2，n为偶数.•【解答】令n＝1，则a1＋a2＝1，所以a2＝0.•当n≥2时，an－1＋an＝(n－1)2，•所以an＋1－an－1＝2n－1，•所以an－1－an－3＝2(n－2)－1.•①若n为奇数，则有a4－a2＝2×3－1，(3)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋an＋1＝n2，求an.累加得，an＋1－a2＝2(3＋5＋…＋n)－n－12＝n－1n＋22，所以an＋1＝n－1n＋22.②若n为偶数，则有a3－a1＝2×2－1，累加得，an＋1－a1＝2(2＋4＋…＋n)－n2＝nn＋12，所以an＋1＝n2＋n＋22.所以an＝n－12＋n－1＋22＝n2－n＋22，n为奇数，n－2n＋12＝n2－n－22，n为偶数.•【解答】因为b1＝a2－a1＝2－1＝1，数列{bn}是公差为2的等差数列，所以bn＝2n－1.•因为b2n－1＝a2n－a2n－1，b2n＝a2n＋1＋a2n，•所以a2n－a2n－1＝4n－3，a2n＋1＋a2n＝4n－1，•所以a2n＋1＋a2n－1＝2，•则a2n＋3＋a2n＋1＝2，所以a2n＋3＝a2n－1.(*)•因为a1＝1，所以a3＝1，则a4n－3＝a1＝1，a4n－1＝a3＝1，•所以a2n－1＝1，所以a2n＝4n－2，在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，数列{bn}满足bn＝an＋1＋(－1)nan，n∈N*.(1)若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式；所以an＝1，n为奇数，2n－2，n为偶数.(2)若b2n－b2n－1＝0，b2n＋1＋b2n＝62n，n∈N*，求数列{an}的前2n项和T2n.【解答】因为b2n－b2n－1＝0，b2n＋1＋b2n＝62n，n∈N*，又b2n－1＝a2n－a2n－1，b2n＝a2n＋1＋a2n，b2n＋1＝a2n＋2－a2n＋1，所以a2n＋1＋a2n－1＝0，a2n＋2＋a2n＝62n(n∈N*)．当n是偶数时，T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)当n是奇数时，T2n＝a1＋a2＋(a3＋…＋a2n－1)＋(a4＋…＋a2n)综上，T2n＝9－－1n2－12n－2.1.数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列分成两个新的数列进行考查，易考新数列与原数列的项数、公差、公比的判定．2.对于通项公式分奇偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看做一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.3.常见的四种题型：(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；(2)含有(－1)n的类型；(3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型；(4)已知条件明确奇偶项问题．