（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 微专题四 平面向量的线性运算和坐标运算课件 苏教版

三角函数、解三角形、平面向量微专题四平面向量的线性运算和坐标运算课时作业考情分析在近三年的江苏高考中，平面向量的线性运算和坐标运算作为B级考点，基本是以数量积为载体，在填空题中结合其他知识点综合考察，单独考察不多，如2017年T12.课时作业典型例题目标1平面向量的线性运算例1(1)如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→＝2GO→，设CD→∥AG→，若AD→＝15AB→＋λAC→(λ∈R)，则λ的值为________．65解析：(1)解法一：AG→＝13AB→＋23AO→＝13AB→＋13AC→，CD→＝AD→－AC→＝15AB→＋(λ－1)AC→.因为CD→∥AG→，所以λ－1＝15，λ＝65.解法二：不妨设CD→＝mAG→，则有AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋mAG→＝AC→＋m(AO→＋OG→)＝AC→＋m12AC→＋13OB→＝AC→＋m12AC→－13BO→＝AC→＋m12AC→－13·12BA→＋BC→＝AC→＋m12AC→－13·12BA→＋AC→－AB→＝m＋33AC→＋m3AB→，从而m＝35，所以λ＝m＋33＝65.点评：平面向量的线性运算主要指的是加法、减法、数乘以及三点共线的转化和平面向量基本定理．本题中的点G实为三角形的重心，解法一和解法二都是考虑将AG→，CD→用基底向量进行表示，然后再利用三点共线的条件求解λ，只不过三点共线的条件用的先后顺序不同．(2)如图，在同一个平面内，向量OA→，OB→，OC→的模分别为1,1，2，OA→与OC→的夹角为α，且tanα＝7，OB→与OC→的夹角为45°.若OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则m＋n＝________.3(2)由tanα＝7可得sinα＝7210，cosα＝210，根据向量的分解，易得ncos45°＋mcosα＝2，nsin45°－msinα＝0，即22n＋210m＝2，22n－7210m＝0，即5n＋m＝10，5n－7m＝0，即得m＝54，n＝74，所以m＋n＝3.点评：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．(3)如图，向量OA→与OB→的夹角为120°，|OA→|＝2，|OB→|＝1，P是以O为圆心，|OB→|为半径的BC︵上的动点，若OP→＝λOA→＋μOB→，则λμ的最大值是________．12(3)建立如图所示的平面直角坐标系，设点P(cosθ，sinθ)，则OP→＝(cosθ，sinθ)，OA→＝(2,0)，OB→＝－12，32.因为OP→＝λOA→＋μOB→，所以cosθ＝2λ－12μ，sinθ＝32μ.所以λ＝12cosθ＋123sinθ，μ＝23sinθ，所以λμ＝123sin2θ－16cos2θ＋16＝13sin2θ－π6＋16≤12，当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，取等号．【思维变式题组训练】1.设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．－8解析：BD→＝CD→－CB→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，因为A，B，D三点共线，故存在实数λ，使得AB→＝λBD→即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，解得λ＝2，k＝－8.2.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC→＝λAM→＋μBN→，则λ＋μ＝________.85解析：解法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM→＝1，12，BN→＝－12，1，AC→＝(1,1)．因为AC→＝λAM→＋μBN→＝λ－12μ，λ2＋μ，所以λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85.解法二：由AM→＝AB→＋12AD→，BN→＝－12AB→＋AD→，得AC→＝λAM→＋μBN→＝λ－μ2AB→＋λ2＋μAD→.又AC→＝AB→＋AD→，所以λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.3.在△ABC中，已知C＝45°，O是△ABC的外心，若OC→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．[－2，1)解析：因为C＝45°，O是△ABC外心，所以∠AOB＝90°，OC→＝mOA→＋nOB→，所以C在优弧AB︵上．建立平面直角坐标系，不妨设半径为1，则A(0,1)，B(1,0)．设C(cosθ，sinθ)θ∈π2，2π，代入OC→＝mOA→＋nOB→，可得n＝cosθ，m＝sinθ，即m＋n＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4.又θ＋π4∈3π4，9π4，所以m＋n∈[－2，1)．目标2平面向量的坐标运算例2(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，3b)与n＝(cosA，sinB)平行，则A＝__________.π3解析：因为m∥n，所以asinB－3bcosA＝0.由正弦定理，得sinAsinB－3sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝3，由于0＜A＜π，所以A＝π3.6解析：解法一：由题意知，AO→＝(2,0)，令P(cosα，sinα)，则AP→＝(cosα＋2，sinα)，AO→·AP→＝(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，当且仅当cosα＝1，即α＝0，P(1,0)时等号成立，故AO→·AP→的最大值为6.解法二：由题意知，AO→＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO→·AP→＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，当且仅当x＝1，P(1,0)时等号成立，故AO→·AP→的最大值为6.(2)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则AO→·AP→的最大值为________．(3)已知点A(1，－1)，B(4,0)，C(2,2)．平面区域D是由所有满足AP→＝λAB→＋μAC→(1λ≤a,1μ≤b)的点P(x，y)组成的区域．若区域D的面积为16，则a＋b的最小值为________．22＋2解析：如图，延长AB至点N，延长AC至点M，使得AN＝aAB，AM＝bAC.四边形ABEC，四边形ANGM，四边形EHGF均为平行四边形．由条件知，点P(x，y)组成的区域D为图中的阴影部分，即四边形EHGF(不含边界EH，EF)．因为AB→＝(3,1)，AC→＝(1,3)，BC→＝(－2,2)，所以|AB→|＝10，|AC→|＝10，|BC→|＝22，cos∠CAB＝10＋10－82×10×10＝35，sin∠CAB＝45.所以四边形EHGF的面积为(a－1)10×(b－1)10×45＝16.所以(a－1)(b－1)＝2，a＋b＝a＋2a－1＋1＝(a－1)＋2a－1＋2.由a1，b1知，当且仅当a－1＝2，即a＝b＝2＋1时，a＋b取得最小值22＋2.【方法归类】向量的坐标运算其本质是在单位正交基底下的运算，对于动点的刻画，坐标法要优于用其他基底下的运算，比如圆上的动点可以用三角的形式来表示，坐标法还可以与解析几何、三角函数和线性规划相结合．对于最值问题建立坐标系后也更容易用函数来解决问题或者利用坐标得出动点轨迹后，用几何意义来解决．【思维变式题组训练】1.已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．(3,3)解析：解法一：由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)．又AC→＝OC→－OA→＝(－2,6)，由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．解法二：设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4,4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且AP→与AC→共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．2.已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)，若平面区域D是由所有满足AP→＝λAB→＋μAC→(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P组成的区域，则D的面积为________．3解析：设P(x，y)，且AB→＝(2,1)，AC→＝(1,2)．所以OP→＝OA→＋AP→＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)，则x＝1＋2λ＋μ，y＝－1＋λ＋2μ⇒3λ＝2x－y－3，3μ＝2y－x＋3，又1≤λ≤2，0≤μ≤1⇒0≤x－2y≤3，6≤2x－y≤9为点P表示的平面区域，故面积为3.3解析：如图所示，建立平面直角坐标系．设A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，P(x，y)．3.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ的最大值为________．根据等面积公式可得圆的半径r＝25，即圆C的方程是(x－2)2＋y2＝45，AP→＝(x，y－1)，AB→＝(0，－1)，AD→＝(2,0)，若满足AP→＝λAB→＋μAD→，即x＝2μ，y－1＝－λ，μ＝x2，λ＝1－y，所以λ＋μ＝x2－y＋1.设z＝x2－y＋1，即x2－y＋1－z＝0，点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝45上，所以圆心到直线的距离d≤r，即|2－z|14＋1≤25，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.解析：(1)因为a＝(sinx,1)，b＝12，cosx，a∥b，所以sinxcosx＝1×12，即sin2x＝1.因为x∈(0，π)，所以2x＝π2，所以x＝π4.4.已知向量a＝(sinx,1)，b＝12，cosx，其中x∈(0，π)．(1)若a∥b，求x的值；(2)若tanx＝－2，求|a＋b|的值．(2)因为a＝(sinx,1)，b＝12，cosx，tanx＝－2，所以sinxcosx＝－2，则12sinx＋cosx＝0，所以a·b＝12sinx＋cosx＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝(sin2x＋1)＋14＋cos2x＝94，所以|a＋b|＝32.课时作业课后作业一、填空题1.设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的________条件．既不充分也不必要解析：|a＋b|＝|a－b|两边平方得a·b＝0，此时a⊥b.2.已知向量a＝(3,1)，b＝－1，12，若向量a＋λb与向量a垂直，则实数λ的值为________．4解析：因为a＋λb＝3－λ，1＋12λ，(a＋λb)⊥a，所以3(3－λ)＋1×1＋λ2＝0，解得λ＝4.13a＋13b解析：DE→＝AE→－AD→＝13AB→－－23CA→＝13(CB→－CA→)＋23CA→＝13a＋13b.3.已知在△ABC中，点D，E别为AC，AB上的点，且DA＝2CD，EB＝2A