（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 常见函数的导数课件 苏

1．2.1常见函数的导数知识点一几个常见函数的导数[探究发现]已知函数(1)f(x)＝c，(2)f(x)＝x，(3)f(x)＝x2，(4)f(x)＝1x，(5)f(x)＝x.问题1：函数f(x)＝x的导数是什么？提示：∵ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝x＋Δx－xΔx＝1，∴当Δx→0时，ΔyΔx→1，即x′＝1.问题2：函数f(x)＝1x的导数是什么？提示：∵ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝1x＋Δx－1xΔx＝x－x＋Δxxx＋ΔxΔx＝－1x2＋x·Δx，∴当Δx→0时，ΔyΔx→－1x2，即1x′＝－1x2.[必备知识]1．(kx＋b)′＝_________(k，b为常数)；2．C′＝_________(C为常数)；3．(x)′＝_________；4．(x2)′＝_________；5．(x3)′＝_________；6.1x′＝_________；7．(x)′＝_________.k012x3x2－1x212x知识点二基本初等函数的导数公式[必备知识]1．(xα)′＝__________(α为常数)；2．(ax)′＝__________(a0，且a≠1)；3．(logax)′＝__________＝__________(a0，且a≠1)；4．(ex)′＝__________；5．(lnx)′＝__________；6．(sinx)′＝__________；7．(cosx)′＝__________.αxα－1axlna1xlnaex1xcosx－sinx1xlogae[提醒]函数f(x)＝logax的导数公式为f′(x)＝(logax)′＝1xlna，当a＝e时，上述公式就变形为(lnx)′＝1x，即f(x)＝lnx是函数f(x)＝logax当a＝e时的特殊情况．类似地，还有f(x)＝ax与f(x)＝ex.考点一求函数的导数[典例]求下列函数的导数．(1)y＝x8；(2)y＝1x3；(3)y＝xx；(4)y＝log2x.[解](1)y′＝(x8)′＝8x7.(2)y′＝1x3′＝(x－3)′＝－3·x－4＝－3x4.(3)y′＝(xx)′＝(x32)′＝32·x12＝3x2.(4)y′＝(log2x)′＝1x·ln2.[类题通法]用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．[针对训练]1．下列结论中不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B.sinπ3′＝cosπ3C.－1x′＝12xxD．若y＝x，则y′＝1解析：选BA正确；sinπ3＝32，而32′＝0，B不正确；对于C，－1x′＝(－x－12)′＝12x－32＝12xx，正确；D正确．2．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2018(x)＝________.解析：由题意f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，则可知周期为4.从而f2018(x)＝f2(x)＝－sinx.答案：－sinx3．求下列函数的导函数．(1)y＝10x；(2)y＝log12x；(3)y＝4x3；(4)y＝sinx2＋cosx22－1.解：(1)y′＝(10x)′＝10xln10.(2)y′＝(log12x)′＝1xln12＝－1xln2.(3)∵y＝4x3＝x34，∴y′＝(x34)′＝34x－14＝344x.(4)∵y＝sinx2＋cosx22－1＝sin2x2＋2sinx2·cosx2＋cos2x2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.考点二求函数在某一点处的导数[典例]求函数f(x)＝16x5在x＝1处的导数．[解]∵f(x)＝16x5＝x－56，∴f′(x)＝x－56′＝－56x－116，∴f′(1)＝－56.[类题通法]求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．[针对训练]1．若函数f(x)＝3x，则f′(1)等于()A．0B．－13C．3D.13解析：选D∵f′(x)＝(3x)′＝(x13)′＝13x－23，∴f′(1)＝13.2．已知f(x)＝lnx，则f′(e)的值为()A．1B．－1C．eD.1e解析：选D∵f′(x)＝1x，∴f′(e)＝1e.3．已知函数f(x)＝ax在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是_________．解析：f′(x)＝－ax2，当x＝1时，f′(1)＝－a＝－2，即a＝2.答案：2考点三导数公式的综合应用[典例](1)曲线y＝cosx在点Pπ3，12处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.12－3π9B.12＋3π9C.12＋3π6D.12－3π6(2)设曲线y＝x在点(2，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()A.22B.24C．－22D．22[解析](1)因为y′＝－sinx，切点为Pπ3，12，所以切线的斜率k＝y′x＝π3＝－sinπ3＝－32，所以切线方程为y－12＝－32x－π3，令x＝0，得y＝12＋3π6，故选C.(2)因为y＝x＝x12，所以y′＝12x－12＝12x，所以切线的斜率k＝y′x＝2＝122，由已知，得－a＝－22，即a＝22，故选D.[答案](1)C(2)D[类题通法]1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．2．求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤[针对训练]1．求曲线y＝x23在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积．解：可求得y′＝23x－13，即y′|x＝1＝23，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为－12，0，与x＝2的交点坐标为2，53，围成三角形面积为12×2＋12×53＝2512.2．当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？并求出切点．解：设切点为A(x0，x20＋k)．∵y′＝2x，∴2x0＝1，x20＋k＝x0，∴x0＝12，k＝14，故当k＝14时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切点坐标为12，12.[课堂归纳领悟]1．对公式y＝xn的理解：(1)y＝xn中，x为自变量，n为常数；(2)它的导数等于指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积．公式中n∈Q，对n∈R也成立．2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化．(2)对于公式(lnx)′＝1x和(ex)′＝ex很好记，但对于公式(logax)′＝1xlogae和(ax)′＝axlna的记忆就较难，特别是两个常数logae与lna很容易混淆．