（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第三章 统计案例 3.2 回归分析课件 苏教版选修2-3

[必备知识]1．线性回归模型(1)随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x，y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中_________是确定性函数，ε称为随机误差．a＋bx(2)随机误差产生的主要原因①所用的_____________不恰当引起的误差；②忽略了__________________；③存在______误差．确定性函数某些因素的影响观测(3)线性回归模型中a，b值的求法y＝____________称为线性回归模型．a，b的估计值为a^，b^，则a＋bx＋ε(4)回归直线和线性回归方程直线___________x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a^称为___________，b^称为___________，y^称为___________．[提醒](1)在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示自变量x的取值增加一个单位时，函数值y的改变量．(2)通过回归方程y^＝a^＋b^x可求出相应变量的估计值．y^＝a^＋b^回归截距回归系数回归值2．样本相关系数r及其性质(1)r＝_____________________________.(2)r具有以下性质①|r|≤___.②|r|越接近于____，x，y的线性相关程度越强．③|r|越接近于____，x，y的线性相关程度越弱．i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2i＝1ny2i－ny20113．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤(1)_________________：变量x，y不具有线性相关关系．(2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n－2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)．(3)计算__________________.(4)作出统计推断：若|r|______，则否定H0，表明有______的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|≤r0.05，则__________________原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．提出统计假设H0样本相关系数rr0.0595%没有理由拒绝[提醒]判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．考点一线性回归分析[典例]假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由数据可知，y对x呈现线性相关关系．(1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？[解](1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x2i49162536经计算得：x＝4，y＝5，i＝15x2i＝90，i＝15xiyi＝112.3，于是有b^＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x2＝1.23，a^＝y－b^·x＝0.08，所以线性回归方程为y^＝a^＋b^x＝0.08＋1.23x.(2)当x＝10时，y^＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)，即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元．[类题通法]线性回归分析的步骤(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；(2)计算x，y，i＝1nx2i，i＝1ny2i，i＝1nxiyi；(3)代入公式求出y^＝b^x＋a^中参数b^，a^的值；(4)写出线性回归方程，并对实际问题作出估计．[针对训练]1．已知x与y之间的一组数据如下：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为y＝2.1x＋0.85，则m的值为()A．1B．0.85C．0.7D．0.5解析：选D由题中数据，得y＝(0＋1＋2＋3)＝1.5，＝(m＋3＋5.5＋7)＝，故样本点的中心为．由样本点的中心必在回归直线上可知，＝2.1×1.5＋0.85，解得m＝0.5.2．某班5名学生的数学和物理成绩如表：学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．解：(1)散点图如图．(2)∵x＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.y＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.i＝15xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.又i＝15x2i＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.∴b^＝i＝15xiyi－5x·yi＝15x2i－5x2≈0.625.∴a^＝y－b^x＝67.8－0.625×73.2＝22.05.∴y对x的线性回归方程是y^＝0.625x＋22.05.(3)当x＝96时，y^＝0.625×96＋22.05≈82.可以预测他的物理成绩是82.考点二相关性检验[典例]现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？[解]x＝110(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，y＝110(84＋64＋…＋57＋71)＝68.i＝110x2i＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584.i＝110y2i＝842＋642＋…＋572＋712＝47384.i＝110xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.所以相关系数为r＝73796－10×107.8×68116584－10×107.8247384－10×682≈0.751.由检验水平0.05及n－2＝8，在附录2中查得r0.05＝0.632，因为0.7510.632，由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系．[类题通法]利用相关系数r进行判断相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器，但计算时应该特别细心，避免出现计算错误．[针对训练]1．对于回归分析，有下列叙述错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能自由变量惟一确定．B．线性相关系数可以是正的或是负的．C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关．D．样本相关系数r∈(－∞，＋∞)．解析：选D由回归模型及其性质易知A，B，C是正确的．相关系数的取值范围应为|r|≤1，所以D是错误的．2．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985对变量y与x进行线性相关性检验．解：由题中数据可得x＝12.5，y＝8.25，i＝14xiyi＝438，4xy＝412.5，i＝14x2i＝660，i＝14y2i＝291，所以r＝i＝14xiyi－4xyi＝14x2i－4x2i＝14y2i－4y2＝438－412.5660－625×291－272.25＝25.5656.25≈0.995.由检验水平0.05及n－2＝2在教材附录表2中查得r0.05＝0.950，因为rr0.05，所以y与x具有线性相关关系．