2019-2020学年高中数学 第2章 函数 2.2.2 函数的奇偶性讲义 苏教版必修1

-1-2.2.2函数的奇偶性学习目标核心素养1.了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征.2.会判断函数的奇偶性．(重点)3.掌握函数奇偶性的运用．(难点)通过学习本节内容培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养.1．偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．3．奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．4．奇、偶函数的图象性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x的图象关于(0,0)对称．()(2)偶函数的图象一定与y轴相交．()(3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数．()(4)奇函数的图象一定过(0,0)．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．若f(x)是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝________.－3[易知a－2＋5＝0，∴a＝－3.]3．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于________．－10[f(－2)＝2，∴－8a－2b－4＝2，∴8a＋2b＝－6，∴f(2)＝8a＋2b－4＝－10.]-2-函数奇偶性的判断【例1】(1)若函数f(x)的图象如图，则f(x)为________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)(2)判断下列函数的奇偶性．①f(x)＝2|x|；②f(x)＝x＋1＋21－x；③f(x)＝4－x2＋x2－4.思路点拨：(1)观察图象的对称性．(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(－x)的关系．(1)偶[因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．](2)[解]①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．②定义域要求x＋1≥0，1－x＞0，所以－1≤x＜1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．③由4－x2≥0，x2－4≥0，得x∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f(±2)＝0，-3-所以f(x)既是奇函数又是偶函数．判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．1．判断下列各函数的奇偶性．(1)f(x)＝(x－2)2＋x2－x；(2)f(x)＝x＋2x－1，0|x|≤1，－x＋2x1.[解](1)由2＋x2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)当x－1时，f(x)＝x＋2，－x1，∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；当x1时，f(x)＝－x＋2，－x－1，f(－x)＝－x＋2＝f(x)；当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，因此f(x)是偶函数.已知函数奇偶性求解析式【例2】(1)已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x(1＋x)，求f(x)；(2)若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值．思路点拨：(1)已知x0时的解析式，用奇偶性求x0的解析式，应通过(－x)进行过渡，但别忽视x＝0的情况；(2)应用偶函数满足f(－x)＝f(x)．[解](1)∵f(x)为R上的奇函数，-4-∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，∴f(－x)＝x(1－x)．∵f(x)为R上的奇函数，∴－f(x)＝x(1－x)，∴f(x)＝－x(1－x)．综上可知，f(x)＝－x1＋x，0，－x1－x，x0，x＝0，x0.(2)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，∴2(m－1)x＝0.∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1.1．(变条件)若将(1)中的“奇函数”改为“偶函数且f(0)＝0”，求f(x)．[解]设x∈(0，＋∞)，则－x∈(－∞，0)，∴f(－x)＝－(－x)[1＋(－x)]＝x(1－x)．又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x(1－x)，x∈(0，＋∞)．∴f(x)＝－x1＋x，x0，0，x＝0，x1－x，x0.2．(变条件)若(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，求m的值．[解]f(0)＝3，f(0)≠0，无解．1．本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.2．利用奇偶性求解析式的思路(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；-5-(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．奇偶函数的单调性[探究问题]1．观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？[提示]两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．2．能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f(x)在[a，b](a0)上递增”为例)．[提示]已知f(x)是奇函数，在区间[a，b](a0)上是单调递增的．证明f(x)在区间[－b，－a]上也单调递增．证明：任取x1，x2∈[－b，－a]且x1x2.则f(x1)－f(x2)＝－f(－x1)－[－f(－x2)]＝f(－x2)－f(－x1)，∵－b≤x1x2≤－a，∴a≤－x2－x1≤b，由f(x)在[a，b]上单调递增，∴f(－x2)f(－x1)，∴f(－x2)－f(－x1)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在区间[－b，－a]上单调递增．3．从图两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？[提示]偶函数的图象在对称区间上单调性相反．-6-【例3】已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f(a－2)＋f(3－2a)0，试求a的取值范围．思路点拨：可将f(a－2)＋f(3－2a)0移项得f(a－2)－f(3－2a)，根据奇偶性和单调性转化为研究a－2与2a－3的大小关系，注意定义域．[解]∵f(a－2)＋f(3－2a)0，∴f(a－2)－f(3－2a)．∵f(x)为奇函数，∴－f(3－2a)＝f(2a－3)，∴f(a－2)f(2a－3)．∵f(x)在[0,1)上为增函数，∴f(x)在(－1,1)上单调递增，∴－1a－21，－13－2a1，a－22a－3，解得1a2.1．函数奇偶性和单调性的关系(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．2．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)是偶函数，在[0,2]上单调递增，则满足不等式f(2a－1)f(1)的a的取值范围是________．1，32∪－12，0[由f(x)为偶函数，得f(2a－1)＝f(|2a－1|)，又f(x)在[0,2]上单调递增，且f(|2a－1|)f(1)，∴|2a－1|1，故－2≤2a－1≤2，|2a－1|1，-7-∴1a≤32或－12≤a0.]1．定义域在数轴上关于原点对称是函数y＝f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔f－xfx＝±1(f(x)≠0)．3．(1)若f(x)＝0且y＝f(x)的定义域关于原点对称，则y＝f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.1．下列函数为奇函数的是()A．y＝xB．y＝2x2－3C．y＝xD．y＝x3，x∈[0,1]A[A中函数是奇函数；B中函数是偶函数；C、D中函数是非奇非偶函数．]2．已知函数f(x)＝x2－2＋32－x2，则f(x)的奇偶性为________．既是奇函数又是偶函数[要使函数有意义，需满足x2－2≥0,2－x2≥0，∴x＝±2，此时y＝0，因此函数图象为点()±2，0，既关于原点对称又关于y轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数．]3．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋1，则当x0时，f(x)＝________.－x3＋1[当x0时，－x0，∴f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x3＋1.]4．已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在[0,2]上单调递增，f(m)＋f(m－1)0，求实数m的取值范围．[解]∵f(x)是奇函数，在[0,2]上单调递增，∴f(x)在[－2,2]上都递增．由f(m)＋f(m－1)0，∴f(m)－f(m－1)＝f(1－m)，-8-由f(x)的单调性知1－mm，∴1－mm，－2≤1－m≤2，－2≤m≤2⇒12m≤2，∴m的取值范围为12，2.