2019-2020学年高中数学 第2章 函数 2.2.1 函数的单调性（第2课时）函数的最大值、最小

-1-第2课时函数的最大值、最小值学习目标核心素养1.理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点)2.会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)通过学习本节内容，培养学生的直观想象和逻辑推理素养.1．函数的最大值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．2．函数的最小值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．思考：函数的最值与值域是一回事吗？[提示]不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为1.()(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立，则f(x)的最大值为M.()(3)函数f(x)＝x的最大值为＋∞.()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)×.因为在定义域内找不到x使得x2＝－1成立．(2)×.因为“无数”并非“所有”，故不正确．(3)×.“＋∞”不是一个具体数．2.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是_________．[答案]－1-2-3．已知函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值是____________．3[根据函数图象可知，f(x)的最大值为3.]4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是__________．[答案]45．函数y＝1x在[2,6]上的最大值与最小值之和等于__________．23[函数y＝1x在区间[2,6]上是减函数，当x＝2时取得最大值12，当x＝6时取得最小值16，12＋16＝23.]利用图象求函数的最值【例1】求函数y＝|x＋1|＋|x－2|(－2≤x≤4)的最值．思路点拨：先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．[解]原函数y＝|x＋1|＋|x－2|＝－2x＋1，－2≤x≤－1，3，－1x≤2，2x－1，2x≤4，图象如图．故函数的最小值为3，最大值为7.用图象法求最值的一般步骤-3-(1)已知函数f(x)＝2x在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________.(2)函数f(x)＝2x，0≤x≤1，2，1x2，3，x≥2的最大值是________．(1)1(2)3[(1)f(x)＝2x在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A＝f(1)＝2，B＝f(2)＝1，∴A－B＝1.(2)作出f(x)的图象如图所示，∴f(x)max＝3.]利用单调性求函数的最值【例2】已知函数f(x)＝xx－1.(1)用函数单调性定义证明f(x)＝xx－1在(1，＋∞)上是单调减函数；(2)求函数f(x)＝xx－1在区间[3,4]上的最大值与最小值．思路点拨：(1)利用单调性的定义证明．(2)利用(1)的结论求最值．[解](1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－1－x2x2－1＝x2－x1x1－1x2－1，因为1x1x2.所以x2－x10，x1－10，x2－10，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．故函数f(x)＝xx－1在(1，＋∞)上为单调递减函数．(2)由上述(1)可知，函数f(x)＝xx－1在[3,4]上为单调递减函数，-4-所以在x＝3时，函数f(x)＝xx－1取得最大值32；在x＝4时，函数f(x)＝xx－1取得最小值43.(变条件)求函数f(x)＝xx－1在[－4，－3]上的最值．[解]任取x1，x2∈[－4，－3]且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－1－x2x2－1＝x2－x1x1－1x2－1.∵x1，x2∈[－4，－3]，∴x1－10，x2－10.又x1x2，∴x2－x10，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在[－4，－3]上单调递减，∴f(x)max＝f(－4)＝45，f(x)min＝f(－3)＝34，∴f(x)在[－4，－3]上最大值为45，最小值为34.1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．2．函数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．二次函数求值域[探究问题]1.如图是函数f(x)＝(x－1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，32，3和[0,3]-5-时，f(x)的单调性．[提示]f(x)在[－1,0]上单调递减；在32，3上单调递增；在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增．2．结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f(x)的最值．[提示]结合图象的单调性，可得x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(0)＝0.x∈32，3时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f32＝－34.x∈[0,3]时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f(1)＝－1.3．通过探究2，分析函数f(x)取最值时的x与对称轴的距离有什么关系？[提示]通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．【例3】求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．思路点拨：f(x)的对称轴是x＝a，a是运动变化的，故求最值时，应该讨论a与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．[解]∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.当a4时，f(x)在[2,4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.∴f(x)min＝6－4a，a2，2－a2，2≤a≤4，18－8a，a4.1．(变设问)在本例条件下，求f(x)的最大值．[解]∵函数图象的对称轴是x＝a，-6-∴当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－8a，当a3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a.∴f(x)max＝18－8a，a≤3，6－4a，a3.2．(变设问)在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a的值．[解]由本例解析知f(x)min＝6－4a，a2，2－a2，2≤a≤4，18－8a，a4.当a2时，6－4a＝2，a＝1；当2≤a≤4时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；当a4时，若18－8a＝2，a＝2(舍去)．∴a的值为1.3．(变条件，变设问)本例条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．[解]在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，即a≥f(x)max，x∈[2,4]．又f(x)max＝18－8a，a≤3，6－4a，a3.(1)当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3.(2)当a3时，a≥6－4a，解得a≥65，此时有a3.综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．求二次函数的最大小值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大小值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大小值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置在区间内，在区间左侧，在区间右侧来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.1．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝1x.如果有最值，-7-则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上单调，则y＝f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．2．对二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a0)在区间[p，q]上的最值问题可作如下讨论：①对称轴x＝h在区间[p，q]的左侧，即当hp时，f(x)max＝f(q)，f(x)min＝f(p)．②对称轴x＝h在区间[p，q]之间，即当p≤h≤q时，f(x)min＝f(h)＝k；当p≤hp＋q2时，f(x)max＝f(q)，当h＝p＋q2时，f(x)max＝f(p)＝f(q)，当p＋q2h≤q时，f(x)max＝f(p)；③对称轴x＝h在区间[p，q]的右侧，即当hq时，f(x)max＝f(p)，f(x)min＝f(q).1．函数y＝－x＋1在区间12，2上的最大值是()A．0B．－12C．12D．－1C[∵函数y＝－x＋1在区间12，2上是减函数，∴f(x)max＝f12＝－12＋1＝12.]2．函数f(x)＝2x－1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是________．(－∞，0)∪12，2[函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上也是减函数，而x∈(－∞，1)∪[2,5)，所以y∈(－∞，0)∪12，2.]3．函数y＝x2－2x－1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是________．0[∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∴函数的对称轴为x＝1，∴函数在区间[0,1]上为减函数，在区间[1,3]上为增函数．∴当x＝1时，函数取最小值－2，当x＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和-8-为0.]4．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f(x)在[1,2]上的值域．[解]∵f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程x＝m8＝－2，即m＝－16.又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上递增．∴f(x)在[1,2]上递增，∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49.∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．