2019-2020学年高中数学 第1章 数列 2.1 等差数列 第1课时 等差数列的概念及其通项公式

-1-第1课时等差数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的判定方法．(重点)3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点)1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.1．等差数列的概念阅读教材P10～P11例1以上部分，完成下列问题．文字语言从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d表示符号语言若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数列吗？[提示]不是，该数每一项与其前一项的差都是n，不是常数，所以不是等差数列．(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个数列一定是等差数列吗？[提示]不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9，就不是等差数列．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．思考：(1)若已知等差数列{an}的首项a1和第二项a2，可以求其通项公式吗？[提示]可以，可利用a2－a1＝d求出d，即可求出通项公式．(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？[提示]不一定，当公差为0时，等差数列的通项公式不是n的一次函数，而是常数函数．3．等差数列通项公式的推导如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，根据等差数列的定义得到a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…-2-所以a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋d＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋2d＋d＝a1＋3d，……由此归纳出等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．1．等差数列{an}中a1＝2，公差d＝3，则an＝()A．2n＋1B．3n＋1C．2n－1D．3n－1D[an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.]2．在等差数列{an}中，a1＝0，a3＝4，则公差d＝()A．4B．2C．－4D．－2B[a3－a1＝4－0＝2d，故d＝2.]3．等差数列32，－12，－52，…的第10项为()A．－372B．－332C．372D．332B[由a1＝32，d＝－12－32＝－2，得an＝32＋(n－1)(－2)＝－2n＋72.所以a10＝－2×10＋72＝－332.]4．已知等差数列{an}中，d＝－13，a7＝8，则a1＝________.10[由a7＝a1＋6d＝8且d＝－13代入解得a1＝8－6d＝8＋2＝10.]等差数列的判定【例1】判断下列数列是否为等差数列：(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.[解](1)因为an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，所以数列{an}是等差数-3-列．(2)因为an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，所以数列{an}不是等差数列．等差数列的判断方法——定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用an＋1－an＝d(常数)或an－an－1＝d(d为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．[提醒]当d＞0时，等差数列{an}是递增数列；当d＜0时，等差数列{an}是递减数列；当d＝0时，等差数列{an}是常数列．1．若数列{an}满足an＋1＝an2an＋1，a1＝1，求证：数列1an是等差数列．[证明]由an＋1＝an2an＋1得1an＋1＝2an＋1an＝2＋1an，即1an＋1－1an＝2，所以数列1an是首项为1，公差为2的等差数列．等差数列的通项公式及应用【例2】(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.[解](1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，故an＝8－3(n－1)＝11－3n，则a20＝11－3×20＝－49.(2)由题意可得a1＋5d＝12，a1＋17d＝36，解得d＝2，a1＝2，故an＝2n.-4-等差数列通项公式的四个应用(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可以求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求出待求项．(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列．2．(1)等差数列{an}中，a2＝4，公差d＝3，an＝22，求n；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？[解](1)由条件知a1＋3＝4，a1＋3n－1＝22，解得a1＝1，n＝8；(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．等差数列的实际应用[探究问题]1．一种游戏软件的租金，第一天5元，以后每一天比前一天多1元，那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？[提示]每天的租金构成以5为首项，以1为公差的等差数列，an＝5＋(n－1)×1＝n＋4(n≥2)．2．直角三角形三边长成等差数列，你能求出三边的比吗？[提示]设直角三角形的三边长分别为a，a＋d，a＋2d(a＞0，d＞0)，则(a＋2d)2＝a2＋(a＋d)2，即a2－2ad－3d2＝0，解得a＝3d，则三边长分别为3d,4d,5d，故三边长的比为3∶4∶5.【例3】某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4-5-km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？思路探究：某人需支付的车费构成等差数列，运用等差数列的知识去解决．[解]根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．1．(变条件)在例3中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5km(不足1km，按1km计费)，且一路畅通，等候时间为0，那么，需支付多少车费？[解]由题意知，当出租车行至18.5km处时，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．2．(变结论)在例3中，若某人乘坐该市的出租车去往nkm(n∈N＋)处的目的地，求其需支付的车费an.[解]当n∈{1,2,3}时，an＝10，当n∈N＋，且n≥4时，an＝11.2＋(n－4)×1.2＝1.2n＋6.4.所以an＝10，n∈{1，2，3}，1.2n＋6.4，n≥4且n∈N＋.应用等差数列解决实际问题的步骤(1)审题，读懂题意，把握已知条件与求解问题．(2)将实际问题抽象为等差数列模型．(3)利用等差数列解决问题．(4)验证答案是否符合实际问题的意义．1．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，已知a1，n，d，an这四个量中的三个，可以-6-求得另一个量．2．等差数列的判定关键是看an＋1－an(或an－an－1(n≥2))是否为一个与n无关的常数．3．对于通项公式的理解．an＝a1＋(n－1)d⇒an＝nd＋(a1－d)，所以，当d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，当d＝0时，等差数列{an}为常数列：a1，a1，a1，…，a1，…1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数列是等差数列．()(2)－1，－2，－3，－4，－5不是等差数列．()(3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确，(2)不正确，数列－1，－2，－3，－4，－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确，公差d＝a8－a7.2．下列数列是等差数列的是()A．13，15，17，19B．1，3，5，7C．1，－1,1，－1D．0,0,0,0D[由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列，选D．]3．在等差数列{an}中，a2＝4，a8＝a6＋3，则a1＝________.52[由已知得a1＋d＝4，a1＋7d＝a1＋5d＋3，解得a1＝52.]4．在等差数列{an}中，a5＝10，a12＝31，求a20，an.[解]由a5＝10，a12＝31，得7d＝a12－a5＝21，所以d＝3，a1＝a5－4d＝10－4×3＝－2.所以a20＝a1＋19d＝－2＋19×3＝55，an＝a1＋(n－1)d＝－2＋3(n－1)＝3n－5(n∈N＋)．