2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.1.2 向量的加法教案（含解析）新人教B版必修

-1-2.1.2向量的加法学习目标核心素养1．掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．(难点)2．理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算．(重点)1．通过向量加法的三角形法则和四边形法则的学习，培养学生直观想象核心素养．2．通过学习向量加法的运算律，培养学生逻辑推理素养.1．向量的加法法则(1)三角形法则已知向量a，b，在平面上任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→，则向量AC→叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.(2)平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作AB→＝a，AD→＝b，则A，B，D三点不共线，以AB→，AD→为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量AC→＝a＋b.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．(3)多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．2．向量加法的运算律交换律结合律a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考：任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行四边形法则进行？-2-[提示]不一定．当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．1．在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，则a＋b等于()A.CA→B.BC→C.AB→D.AC→D[∵AB→＝a，BC→＝b，∴a＋b＝AB→＋BC→＝AC→.]2．如图所示，AB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FA→等于()A．0B．0C．2AD→D．－2AD→B[由向量求和的多边形法则可知结果为0，故选B.]3．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为BC→的是________．(1)BA→＋AD→＋DC→；(2)BD→＋DA→＋AC→；(3)AB→＋BD→＋DC→.(3)[在(1)中BA→＋AD→＋DC→＝BD→＋DC→＝BC→；在(2)中BD→＋DA→＋AC→＝BA→＋AC→＝BC→；在(3)中AB→＋BD→＋DC→＝AD→＋DC→＝AC→.]向量加法运算法则的应用【例1】(1)化简AE→＋EB→＋BC→等于()A.AB→B.AC→C.CE→D.BE→(2)如图所示，a＋d＝________，c＋b＝________.(3)若正方形ABCD的边长为1，AB→＝a，AD→＝b，AC→＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小．[思路探究]利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图．-3-(1)B(2)DA→CB→[(1)由向量加法的三角形法则可得：AE→＋EB→＋BC→＝AB→＋BC→＝AC→.故选B.(2)由向量求和的三角形法则可知a＋d＝DA→，c＋b＝CB→.](3)解：根据平行四边形法则可知，a＋b＝AB→＋AD→＝AC→.根据三角形法则，延长AC，在AC的延长线上作CE→＝AC→，则a＋b＋c＝AC→＋AC→＝AC→＋CE→＝AE→(如图所示)．所以|a＋b＋c|＝|AE→|＝212＋12＝22.1．向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．(2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．2．利用向量的两种加法法则作图的方法：法则作法三角形法则①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和平行四边形法则①把两个已知向量的始点平移到同一点②以这两个已知向量为邻边作平行四边形③对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和1.如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：-4-(1)OA→＋OC→；(2)BC→＋FE→.[解](1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形，∴由向量加法的平行四边形法则，得OA→＋OC→＝OB→.(2)由题图可知，BC→＝FE→＝OD→＝AO→，∴BC→＋FE→＝AO→＋OD→＝AD→.向量加法运算律的应用【例2】(1)下列等式不正确的是()①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②AB→＋BA→＝0；③AC→＝DC→＋AB→＋BD→.A．②③B．②C．①D．③(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：①AB→＋CD→＋BC→；②DB→＋AC→＋BD→＋CA→.[思路探究]可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和．(1)B[由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB→＋BA→＝0，故②不正确；DC→＋AB→＋BD→＝AB→＋BD→＋DC→＝AC→成立，故③正确．](2)①AB→＋CD→＋BC→＝(AB→＋BC→)＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.②DB→＋AC→＋BD→＋CA→＝(DB→＋BD→)＋(AC→＋CA→)＝0＋0＝0.向量加法运算律的意义和应用原则：(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的-5-次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．2．化简：(1)(MA→＋BN→)＋(AC→＋CB→)；(2)AB→＋(BD→＋CA→)＋DC→.[解](1)(MA→＋BN→)＋(AC→＋CB→)＝(MA→＋AC→)＋(CB→＋BN→)＝MC→＋CN→＝MN→.(2)AB→＋(BD→＋CA→)＋DC→＝AB→＋BD→＋DC→＋CA→＝0.向量加法的实际应用【例3】在青海玉树大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．[思路探究]解本题首先要正确地画出方位图，再根据图形借助于向量求解．[解]如图所示，设AB→、BC→分别是直升飞机两次位移，则AC→表示两次位移的合位移，即AC→＝AB→＋BC→.在Rt△ABD中，|DB→|＝20km，|AD→|＝203km，在Rt△ACD中，|AC→|＝|AD→|2＋|DC→|2＝403(km)，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地403km处．向量应用题首先要正确画出图形，用向量表示实际量，然后进行向量运算，回扣实际问题，作出解答.3．为了调运急需物资，如图所示，一艘船从江南岸A点出发，以53km/h的速度向垂-6-直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5km/h.(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向．(用与江水的速度方向间的夹角表示)[解](1)如图所示，AD→表示船速，AB→表示水速．易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则AC→表示船实际航行的速度．(2)在Rt△ABC中，|AB→|＝5，|BC→|＝53，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝52＋532＝100＝10.因为tan∠CAB＝|BC→||AB→|＝3，所以∠CAB＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.向量加法的多边形法则[探究问题]1．在△ABC中，若AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，那么a＋b＋c＝0一定成立吗？[提示]一定成立，因为在△ABC中，由向量加法的三角形法则AB→＋BC→＝AC→，所以AB→＋BC→＋CA→＝0，那么a＋b＋c＝0.2．如果任意三个向量a，b，c满足条件a＋b＋c＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？[提示]若任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a＋b＋c＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形．3．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，A1An→＝A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An.当A1与An重合时，A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An满足什么关系？[提示]当A1与An重合时，有A1A2→＋A2A3→＋A3A4→＋…＋An－1An＝0.【例4】如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()-7-A．0B．BE→C．AD→D．CF→[思路探究]用向量加法的运算律，将BA→＋CD→＋EF→变形为CD→＋DE→＋EF→就可以利用向量加法的多边形法则求和向量．D[因为ABCDEF是正六边形，所以BA∥DE，BA＝DE，所以BA→＝DE→，所以BA→＋CD→＋EF→＝DE→＋CD→＋EF→＝CD→＋DE→＋EF→＝CF→.]三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.4.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)DG→＋EA→＋CB→；(2)EG→＋CG→＋DA→＋EB→.[解](1)DG→＋EA→＋CB→＝GC→＋BE→＋CB→＝GC→＋CB→＋BE→＝GB→＋BE→＝GE→.(2)EG→＋CG→＋DA→＋EB→＝EG→＋GD→＋DA→＋AE→＝ED→＋DA→＋AE→＝EA→＋AE→＝0.(教师用书独具)1．应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．2．解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.-8-1．化简OP→＋PQ→＋PS→＋SP→的结果等于()A.QP→B.OQ→C.SP→D.SQ→B[OP→＋PQ→＋PS→＋SP→＝OQ→＋0＝OQ→.]2．下列命题中正确的个数为()(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么(a＋b)∥a；(2)在平行四边形ABCD中，必有BC→＝AD→；(3)若BC→＝AD→，则A，B，C，D为平行四边形的四个顶点；(4)若a，b均为非零向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|.A．0B．1C．2D．3D[(1)正确；(2)在平行四边形ABCD中，BC∥AD，且BC＝AD，所以BC→＝AD→，正确；(3)A，B，C，D可能共线，所以错误；(4)为向量的三角不等式，所以正确．]3．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝2，则|AB→＋BC→|＝________.13[在矩形ABCD中AB→＋BC→＝AC→，所以|AB→＋BC→|＝|AB→2|＋|BC→2|＝32＋22＝13.]4．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.[解]在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，BC→＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB→＝a＋b，OC→＝a＋b＋c，OC→即为所作向量．