（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 空间向量及其运算教

1§8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的2夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)3(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.(√)(6)若a·b0，则〈a，b〉是钝角．(×)题组二教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD.12a－12b＋c答案A解析BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．答案2解析|EF→|2＝EF→2＝(EC→＋CD→＋DF→)2＝EC→2＋CD→2＋DF→2＋2(EC→·CD→＋EC→·DF→＋CD→·DF→)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF→|＝2，∴EF的长为2.题组三易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直答案B解析由题意得，AB→＝(－3，－3，3)，CD→＝(1，1，－1)，4∴AB→＝－3CD→，∴AB→与CD→共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.5．已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.答案26解析∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，∴x＝2，∴|b|＝－42＋22＋22＝26.6．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP→＝34OA→＋18OB→＋tOC→，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______.答案18解析∵P，A，B，C四点共面，∴34＋18＋t＝1，∴t＝18.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)MP→＋NC1→.解(1)因为P是C1D1的中点，所以AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)因为M是AA1的中点，5所以MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，所以MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝________________.答案12AB→＋12AD→＋AA1→解析∵OC→＝12AC→＝12(AB→＋AD→)，∴OC1→＝OC→＋CC1→＝12(AB→＋AD→)＋AA1→＝12AB→＋12AD→＋AA1→.(2)如图，在三棱锥O—ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示NM→，则NM→等于()6A.12(－a＋b＋c)B.12(a＋b－c)C.12(a－b＋c)D.12(－a－b＋c)答案B解析NM→＝NA→＋AM→＝(OA→－ON→)＋12AB→＝OA→－12OC→＋12(OB→－OA→)＝12OA→＋12OB→－12OC→＝12(a＋b－c)．题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH.证明(1)连接BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→7＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→且同过点PMP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．(1)向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)∵AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→，∴MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝kC1A→＋AB→＋kBC→＝k(C1A→＋BC→)＋AB→＝k(C1A→＋B1C1→)＋AB→8＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→＝AB→－k(AA1→＋AB→)＝(1－k)AB→－kAA1→，∴由共面向量定理知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知MN→与AB→，AA1→共面，∴MN∥平面ABB1A1.综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内；当0k≤1时，MN∥平面ABB1A1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．(1)证明设AB→＝p，AC→＝q，AD→＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.MN→＝AN→－AM→＝12(AC→＋AD→)－12AB→＝12(q＋r－p)，∴MN→·AB→＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴MN→⊥AB→，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)解设向量AN→与MC→的夹角为θ.9∵AN→＝12(AC→＋AD→)＝12(q＋r)，MC→＝AC→－AM→＝q－12p，∴AN→·MC→＝12(q＋r)·q－12p＝12q2－12q·p＋r·q－12r·p＝12a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60°＝12a2－a24＋a22－a24＝a22.又∵|AN→|＝|MC→|＝32a，∴AN→·MC→＝|AN→||MC→|cosθ＝32a×32a×cosθ＝a22.∴cosθ＝23.∴向量AN→与MC→的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为23.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过|a|＝a2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1→的长；(2)求BD1→与AC→夹角的余弦值．解(1)记AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝12.10|AC1→|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×12＋12＋12＝6，∴|AC1→|＝6，即AC1的长为6.(2)BD1→＝b＋c－a，AC→＝a＋b，∴|BD1→|＝2，|AC→|＝3，BD1→·AC→＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，∴cos〈BD1→，AC→〉＝BD1，→·AC→|BD1→||AC→|＝66.即BD1→与AC→夹角的余弦值为66.1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则x等于()A．(0，3，－6)B．(0，6，－20)C．(0，6，－6)D．(6，6，－6)答案B解析由b＝12x－2a，得x＝4a＋2b＝(8