2019-2020学年新教材高中数学 课时素养评价五十九 三角函数的应用 新人教A版必修第一册

1课时素养评价五十九三角函数的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin160πt+110.其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为()A.60B.70C.80D.90【解析】选C.由题意可得f===80,所以此人每分钟心跳的次数为80,故选C项.【加练·固】已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I=5sin,t∈[0,+∞),则这种交流电在0.5s内往复运动________次.【解析】据I=5sin知ω=100π,该电流的周期为T===0.02,则这种交流电电流在0.5s内往复运行次数n===25.答案:252.如图是函数y=sinx(0≤x≤π)的图象,A(x,y)是图象上任意一点,过点A作x轴的平行线,交其图象于另一点B(A,B可重合).设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图象是()2【解析】选A.当x∈时,f(x)=π-2x;当x∈时,f(x)=2x-π.3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的()A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]【解析】选C.当10≤t≤15时,有π5≤≤π,此时F(t)=50+4sin是增函数,即车流量在增加.4.函数f(x)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是()A.f(x)=x+sinxB.f(x)=C.f(x)=xcosxD.f(x)=x【解析】选C.观察图象知函数为奇函数,排除D项;又函数在x=0处有意义,排除B项;取x=,f=0,A项不合适,故选C项.二、填空题(每小题4分,共8分)5.振动量函数y=sin(ωx+φ)(ω0)的初相和频率分别为-π和,则它的运动周期为________,相位是________.3【解析】因为频率f=,所以T==,所以ω==3π.所以相位ωx+φ=3πx-π.答案:3πx-π6.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数解析式为________.【解析】将其看成y=Asin(ωx+φ)的图象,由图象知:A=6,T=12,所以ω==,下面确定φ.将(6,0)看成函数图象的第一特殊点,则×6+φ=0.所以φ=-π.所以函数解析式为:y=6sin=-6sinx.答案:y=-6sinx三、解答题(共26分)7.(12分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?【解析】(1)因为f(t)=10-2sin,4又0≤t24,所以≤t+,-1≤sin≤1.当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)依题意,当f(t)11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin11,即sin-.又0≤t24,因此t+,即10t18.故在10时至18时实验室需要降温.8.(14分)如图为一个缆车示意图,缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数解析式.(2)设从OA开始转动,经过ts后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少?【解析】(1)以圆心O为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,5故B点坐标为.所以h=5.6+4.8sin.(2)点A在圆上转动的角速度是,故ts转过的弧度数为.所以h=5.6+4.8sin,t∈[0,+∞).到达最高点时,h=10.4m.由sin=1,得t-=+2kπ,k∈N,所以tmin=30(s).即缆车到达最高点时,用的时间最少为30秒.(15分钟·30分)1.(4分)稳定房价是我国近几年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9500(ω0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:x123y100009500?则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A.10000元B.9500元C.9000元D.8500元【解析】选C.因为y=500sin(ωx+φ)+9500(ω0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9500=106000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9500=9500,所以ω可取,φ可取π,即y=500sin+9500.当x=3时,y=9000.2.(4分)已知函数y=sinax+b(a0)的图象如图所示,则函数y=loga(x+b)的图象可能是()【解析】选C.由函数y=sinax+b的图象可得0b1,=2π-π,所以0a1,故函数y=loga(x+b)为减函数,且图象经过点(1-b,0),结合所给选项可知选C.【加练·固】与图中曲线对应的函数解析式是()A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|【解析】选C.注意题图所对的函数值有正有负,因此可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin|x|0,而图中显然是小于零,因此排除选项B.3.(4分)一根长acm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数解析式是s=3cos,t∈[0,+∞),则小球摆动的周期为________.7【解析】T==.答案:4.(4分)设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,0φπ)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f的值为________.【解析】取K,L的中点N,则MN=,因此A=.由T=2得ω=π.因为函数为偶函数,0φπ,所以φ=,所以f(x)=cosπx,所以f=cos=.答案:5.(14分)已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).(1)如图所示是I=Asin(ωt+φ)(ω0,|φ|)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式.(2)如果t在任意一段的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?【解析】(1)由图可知A=300,设t1=-,t2=,8则周期T=2(t2-t1)=2=.所以ω==150π.又当t=时,I=0,即sin=0,而|φ|,所以φ=.故所求的解析式为I=300sin.(2)依题意知,周期T≤,即≤(ω0),所以ω≥300π942,又ω∈N*,故所求最小正整数ω=943.1.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是()【解析】选C.令AP所对圆心角为θ,由|OA|=1,得l=θ,sin=,所以d=2sin=2sin.即d=f(l)=2sin(0≤l≤2π),它的图象为C.2.下表是某地某年月平均气温(华氏):9以月份为x轴(x=月份-1),以平均气温为y轴.(1)用正弦曲线去拟合这些数据.(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A.(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据?①=cos;②=cos;③=cos.【解析】(1)如图.(2)最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,故=7-1=6,所以T=12.因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.(3)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0.代入①,得=1≠cos,故①不适合;代入②,得=0≠cos,故②不适合;代入③,得=0且1,故③适合.所以应选③.10