2020版高考数学二轮复习 第2部分 专题5 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质教案 理

-1-第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质[教师授课资源][备考指导]圆锥曲线命题方向高考中一般2道选择、填空题，1道大题，命题时三种圆锥曲线全部考查，选择、填空题考两种圆锥曲线，大题考一种．①选择、填空题以考查圆锥曲线定义基本性质为主，坚持四个原则．1°数形结合，画图.2°定义活用(距离转化).3°有关结论引用.4°特殊值法，尽量不能小题大做(大量运算).5°平面几何知识应用(角平分线，中位线，Rt△)．②大题的难度有所转化，掌握基本题型及解析几何处理问题的基本思想．题型：定值、定点、最值、范围．思想方法：设而不求，特殊到一般，整体代换．2°重视圆锥曲线的切线问题．3°重视求轨迹方程(直接法、定义法、相交点法、点差法)．4°重视圆锥曲线的类型(焦点位置)．5°圆锥曲线的焦点弦长问题，灵活应用极坐标．6°重视以双曲线渐近线为背景的题目．7°重视向量在解析几何中工具利用，如转化垂直，x1x2＋y1y2，转化锐角或钝角．8°重视弦长公式|AB|＝|x1－x2|1＋k2＝Δ|a|1＋k2的化简技巧．9°易忽视设直线方程时没讨论斜率k不存在情况．[做小题——激活思维]1．已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C的标准方程是()A.x216＋y212＝1B.x212＋y216＝1-2-C.x24＋y28＝1D.x28＋y24＝1C[由题意可得2c＝4，故c＝2，又e＝2a＝22，解得a＝22，故b＝222－22＝2，因为焦点在y轴上，故椭圆C的标准方程是x24＋y28＝1.]2．设F1，F2是椭圆x249＋y224＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为()A．30B．25C．24D．40C[∵|PF1|＋|PF2|＝14，又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6.∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×8×6＝24.]3．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝－12yD．x2＝12yD[由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.]4.点M(1,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，则a的值为()A．14B．－112C．14或－112D．－14或112C[抛物线y＝ax2化为x2＝1ay，它的准线方程为y＝－14a，点M(1,1)到抛物线y＝ax2准线的距离为2，可得1＋14a＝2，解得a＝14或－112.]5．“k＜9”是“方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件-3-A[因为方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)＜0，所以k＜9或k＞25，所以“k＜9”是“方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.]6．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±xC[因双曲线方程C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为52，则e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝54，即b2a2＝14，∴ba＝12，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±12x，故选C.][扣要点——查缺补漏]1．椭圆的定义标准方程及几何性质(1)定义：|PF1|＋|PF2|＝2a；如T2.(2)焦点三角形的面积：S△PF1F2＝b2tanα2.(3)离心率：e＝ca＝1－b2a2；如T1.(4)焦距：2c.(5)a，b，c的关系：c2＝a2－b2.2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b≠0)的几何性质(1)离心率e＝ca＝1＋b2a2；(2)渐近线：y＝±bax.3．抛物线的定义、几何性质-4-(1)如图，|MF|＝|MH|.如T3，T4.(2)已知抛物线y2＝2px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为焦点．①焦半径|CF|＝x1＋p2；②过焦点的弦长|CD|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ；③x1x2＝p24，y1y2＝－p2.④1|FC|＋1|FD|＝2p.4．方程Ax2＋By2＝1表示的曲线(1)表示椭圆：A＞0，B＞0且A≠B；(2)表示圆：A＝B＞0；(3)表示双曲线AB＜0；如T5.(4)表示直线：A＝0且B≠0或A≠0且B＝0.圆锥曲线的定义、标准方程(5年5考)[高考解读]以抛物线、双曲线、椭圆的定义和标准方程为载体，以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系、待定系数法、解三角形的有关知识等求得相应曲线的标准方程，体现了等价转化和方程的求解思想.1．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，3)C．(0,3)D．(0，3)A[若双曲线的焦点在x轴上，则m2＋n＞0，3m2－n＞0.-5-又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴1＋n＞0，3－n＞0，∴－1n3.若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为y2n－3m2－x2－m2－n＝1，即n－3m2＞0，－m2－n＞0，即n3m2且n－m2，此时n不存在．故选A.]2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1B[由题意设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，连接F1A(图略)，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－21a2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.故选B.]3．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.6[如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.][教师备选题]-6-1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1B[由y＝52x可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为x24－y25＝1.故选B.]2．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．(3，15)[设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆x236＋y220＝1上，所以联立方程可得x＋42＋y2＝64，x236＋y220＝1，解得x＝3，y＝±15.又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15)．]求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．提醒：对于抛物线问题，看到准线想到焦点，看到焦点想到准线．1．(离心率问题)设F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为a2，则双曲线的离心率是()-7-A.5B.2C．4D．2B[由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2.由S△PF1F2＝a2可知|PF1||PF2|＝2a2，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.∴(|PF1|－|PF2|)2＝－2|PF1||PF2|＋|F1F2|2，即4a2＝－4a2＋4c2，∴e2＝c2a2＝84＝2，又e＞1，∴e＝2，故选B.]2．[一题多解](曲线方程问题)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3xC[法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设||BF＝a，则由已知得||BC＝2a，由抛物线定义，得||BD＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵||AE＝|AF|＝3，||AC＝3＋3a，∴2||AE＝||AC，即3＋3a＝6，从而得a＝1，||FC＝3a＝3.∴p＝||FG＝12||FC＝32，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.法二：由法一可知∠CBD＝60°，则由|AF|＝p1－cos60°＝3可知p＝31－12＝32，∴2p＝3，∴抛物线的标准方程为y2＝3x.]3．(轨迹问题)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则C点轨迹方程为()-8-A.x216＋y29＝1(y≠0)B.y225＋x29＝1(y≠0)C.y216＋x29＝1(y≠0)D.x225＋y29＝1(y≠0)D[∵△ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵108，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝8，即a＝5，c＝4，∴b＝3.∴C点的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．故选D.]圆锥曲线的几何性质(5年10考)[高考解读]该考点是高考的核心热点之一，主要考查考生数形结合思想和化归与转化思想的应用，考查数学运算，直观想象的核心素养.1．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32xA[法一：由题意知，e＝ca＝3，所以c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a，所以ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x，故选A.法二：由e＝ca＝1＋ba2＝3，得ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()-9-A.23B.12C.13D.14D[由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1