2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3.2 补集及综合应用讲义 新

1第2课时补集及综合应用知识点补集1．全集如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.2．补集状元随笔全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素．∁UA的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．[教材解难]理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是相互依存、不可分割的两个概念．(2)∁UA包含三层意思：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．2[基础自测]1．设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x3}，则∁UP等于()A．{x|x－2或x≥3}B．{x|x－2或x3}C．{x|x≤－2或x3}D．{x|x≤－2且x≥3}解析：由P＝{x|－2≤x3}得∁UP＝{x|x－2或x≥3}．答案：A2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝()A．{1,2,5,6}B．{1}C．{2}D．{1,2,3,4}解析：∵∁UB＝{1,5,6}，∴A∩(∁UB)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}．答案：B3．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}解析：A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0x1}．故选D.答案：D4．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁UA)∩B＝________.解析：先计算∁UA，再计算(∁UA)∩B.∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴∁UA＝{6,8}．∴(∁UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}题型一补集的运算[教材P13例5]例1设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB.【解析】根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁UA＝{4,5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}.列举法，先求出全集，再利用补集的定义求∁UA，∁UB.教材反思求补集的原则和方法(1)一个基本原则．3求给定集合A的补集，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．(2)两种求解方法：①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．跟踪训练1(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝()A．∅B．{1,3}C．{2,4,5}D．{1,2,3,4,5}(2)设全集为R，集合A＝{x|0x2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝()A.{x|0x≤1}B．{x|0x1}C．{x|1≤x2}D．{x|0x2}解析：(1)本小题考查集合的运算．∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4,5}．利用补集定义直接求．(2)本题主要考查集合的基本运算．由B＝{x|x≥1}，得∁RB＝{x|x1}，借助于数轴，可得A∩(∁RB)＝{x|0x1}，故选B.利用数轴表示集合A、B，结合数轴求出结果．答案：(1)C(2)B题型二集合交、并、补的综合运算[经典例题]例2(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝()A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，P＝xx≤0或x≥52，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．【解析】(1)因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．又4A＝{2,3,5,6}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}．先求∁UB，再求A∩∁UB.(2)将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．因为A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，所以A∩B＝{x|－1x2}，∁UB＝{x|x≤－1或x3}．又P＝xx≤0或x≥52，所以(∁UB)∪P＝xx≤0或x≥52.又∁UP＝x0x52，所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1x2}∩x0x52＝{x|0x2}．根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解．【答案】(1)A(2)见解析方法归纳求集合交、并、补运算的方法跟踪训练2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.解析：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2x3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3x≤－2或x＝3}．5借助数轴求出∁UA，∁UB再运算．题型三补集思想的应用[经典例题]例3已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．【解析】先求A∩B＝∅时m的取值范围．(1)当A＝∅时，①方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)＜0，解得m＞－1.(2)当A≠∅，A∩B＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．②设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则Δ＝－42－42m＋6≥0，x1＋x2＝4≥0，x1x2＝2m＋6≥0，③即m≤－1，m≥－3，解得－3≤m≤－1，综上，当A∩B＝∅时，m的取值范围是{m|m≥－3}．又因为U＝R，④所以当A∩B≠∅时，m的取值范围是∁R{m|m≥－3}＝{m|m－3}．所以，A∩B≠∅时，m的取值范围是{m|m－3}．状元随笔①A∩B＝∅，对于集合A而言，分A＝∅与A≠∅两种情况.A＝∅表示方程无实根．②B＝{x|x0}，而A∩B＝∅，故A{x|x≥0}，即已知方程的根为非负实根．③Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x1＋x2≥0与x1x2≥0保证了原方程两根非负.如果两根都大于1，则等价形式为x1－1＋x2－10，x1－1x2－10，而不是x1＋x22，x1x21.④由于A∩B≠∅，故方程x2－4x＋2m＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m－3}，结果相同.6方法归纳(1)运用补集思想求参数范围的方法：①否定已知条件，考虑反面问题；②求解反面问题对应的参数范围；③将反面问题对应参数的范围取补集．(2)补集思想适用的情况：从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．跟踪训练3设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m.解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．综上，可知m＝3.根据补集的定义，得到关于m的方程m2－m－1＝5，解得m的值后还需检验．课时作业4一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－x－20}，则∁RA＝()A．{x|－1x2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x－1}∪{x|x2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：本题主要考查集合的基本运算及一元二次不等式的解法．化简A＝{x|x－1或x2}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.答案：B2．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}解析：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B(否7则5∈A∩B)，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A＝{5,9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理1∉A，7∉A，故A＝{3,9}．答案：D3．设全集U＝R，M＝{x|x－2或x2}，N＝{x|1x3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1x≤2}D．{x|x2}解析：阴影部分所表示集合是N∩(∁UM)，又∵∁UM＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(∁UM)＝{x|1x≤2}．答案：C4．设集合M＝{x|－1≤x2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁RM)⊇(∁RN)，则k的取值范围是()A．k≤2B．k≥－1C．k－1D．k≥2解析：由(∁RM)⊇(∁RN)可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.答案：D二、填空题5．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁UB)＝{2,4}，则B＝________.解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由∁U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A∩(∁UB)＝{2,4}知，{2,4}⊆A，{2,4}⊆∁UB，∴B＝{5,6,7,8,9}．答案：{5,6,7,8,9}6．已知全集U＝R，M＝{x|－1x1}，∁UN＝{x|0x2}，那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0x2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}，∴M∪N＝{x|－1x1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x1或x≥2}．答案：{x|x1或x≥2}7．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x3或x4}，则ab＝________.解析：因为A∪(∁UA)＝R，A∩(∁UA)＝∅，所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.8答案：12三、解答题8．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1x2}，B＝{x|0x≤3}．求：(1)A∩B；(2)∁U(A∪B)；(3)A∩(∁UB)．解析：(1)因为A＝{x|－1x2}，B＝{x|0x≤3}，所以A∩B＝{x|－1x2}∩{x|0x≤3}＝{x|0x2}．(2)A∪B＝{x|－1x2}∪{x|0x≤3}＝{x|－1x≤3}，∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x3}．(3)A∩(∁UB)＝{x|－1x2}∩{x|x3或x≤0}＝{x|－1x≤0}．9．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁UN)＝{3,5}，(∁UM)∩N＝{7,19}，(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，求M，N.解析：方法一U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，如图，∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．方法二∵M∩(∁UN)＝{3,5}，∴3∈M,5∈M且3∉N,5∉N.又∵(∁UM)∩N＝{7,19}，∴7∈N,19∈N且7∉M,19∉M.又∵(∁UM)∩(∁UN)＝{2,17}，∴∁U(M∪N)＝{2,17}，∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．[尖子生题库]10．已知A＝{x|－1x≤3}，B＝