2019-2020学年高中数学 第2章 参数方程 2 2.2 圆的参数方程 2.3 椭圆的参数方程

-1-2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程学习目标：1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程.2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程．(易错易混点)3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题．(难点)教材整理1圆的参数方程1．标准圆的参数方程已知一个圆的圆心在原点，半径为r，设点P(x，y)是圆周上任意一点，连结OP，令OP与x轴正方向的夹角为α，则α唯一地确定了点P在圆周上的位置．作PM⊥Ox，垂足为M，显然，∠POM＝α(如图)．则在Rt△POM中有OM＝OPcosα，MP＝OPsinα，即x＝rcosα，y＝rsinα(α为参数)．这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程．参数α的几何意义是OP与x轴正方向的夹角．2．一般圆的参数方程以(a，b)为圆心，r为半径的圆，普通方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的参数方程为x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα(α为参数，a，b是常数)．填空：(1)圆心为(2,1)，半径为2的圆的参数方程是________．(2)在圆x＝－1＋cosαy＝sinα(α为参数)中，圆的圆心是________，半径是________．(3)圆x＝1＋cosα，y＝1＋sinα(α为参数)上的点到O(0,0)的距离的最大值是________，最小值是________．[解析](1)x＝2＋2cosα，y＝1＋2sinα(α为参数)．-2-(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0)，半径为1.(3)由圆的参数方程知圆心为(1,1)，半径为1.∵圆心到原点的距离为2，∴最大值为2＋1，最小值为2－1.[答案](1)x＝2＋2cosα，y＝1＋2sinα(α为参数)(2)(－1,0)1(3)2＋12－1教材整理2椭圆与双曲线的参数方程1．椭圆的参数方程(1)椭圆的中心在原点标准方程为x2a2＋y2b2＝1，其参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)．参数φ的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角．(2)椭圆方程不是标准形式其方程也可表示为参数方程的形式，如x－x02a2＋y－y02b2＝1(a＞b＞0)，参数方程可表示为x＝x0＋acosφ，y＝y0＋bsinφ(φ为参数)．2．双曲线的参数方程当以F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，双曲线的普通方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．此时参数方程为(φ为参数)．其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆参数方程中，参数φ的几何意义是椭圆上任一点的离心角．()(2)在椭圆上任一点处，离心角和旋转角数值都相等．()(3)在双曲线参数方程中，参数φ的范围为[0,2π)．()[解析](1)√椭圆中，参数φ的几何意义就是离心角．(2)×在四个顶点处是相同的，在其他任一点处，离心角和旋转角在数值上都不相等．(3)×双曲线中，参数φ的范围是φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2.[答案](1)√(2)×(3)×-3-求圆的参数方程【例1】圆(x－r)2＋y2＝r2(r0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．[精彩点拨]根据圆的特点，结合参数方程概念求解．[尝试解答]如图所示，设圆心为O′，连结O′M，∵O′为圆心，∴∠MO′x＝2φ，∴x＝r＋rcos2φ，y＝rsin2φ.1．确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成x＝r＋rcosφ，y＝rsinφ.2．由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知点P(2,0)，点Q是圆x＝cosθ，y＝sinθ上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．[解]设中点M(x，y)．则x＝2＋cosθ2，y＝0＋sinθ2，即x＝1＋12cosθ，y＝12sinθ(θ为参数)，这就是所求的轨迹方程．-4-它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.椭圆的参数方程及其应用【例2】如图所示，已知点M是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．[精彩点拨]本题可利用椭圆的参数方程，把面积的最大值问题转化为三角函数的最值问题求解．[尝试解答]M是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，由椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)，故可设M(acosφ，bsinφ)，其中0＜φ＜π2，因此，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝12OA·yM＋12OB·xM＝12ab(sinφ＋cosφ)＝22absinφ＋π4.所以，当φ＝π4时，四边形MAOB面积的最大值为22ab．本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，这是解题的突破口和关键，用椭圆的参数方程，将面积表示为参数的三角函数求最大值，思路顺畅，解法简捷，充分体现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性．-5-2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．[解](1)因为－1＜1－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosαy＝2sinα(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.双曲线的参数方程及其应用【例3】如图所示，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.[精彩点拨]将双曲线方程化为参数方程x＝1cosφ，y＝tanφ，再利用三角运算进行证明．[尝试解答]因为双曲线的方程为x2－y2＝1，所以设P1cosφ，tanφ.∵F1(－2，0)，F2(2，0)，-6-∴|PF1|＝1cosφ＋22＋tan2φ＝2cos2φ＋22cosφ＋1，|PF2|＝1cosφ－22＋tan2φ＝2cos2φ－22cosφ＋1，∴|PF1|·|PF2|＝2cos2φ＋12－8cos2φ＝2cos2φ－1.∵|OP|2＝1cos2φ＋tan2φ＝2cos2φ－1，∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.1．与双曲线上点有关的问题，常利用其参数方程转化为三角的计算与证明问题．2．对由参数方程给出的双曲线确定其几何性质问题，常将其化为普通方程后，再求解．3．求证：双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．[证明]由双曲线x2a2－y2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，设双曲线上任一点的坐标为(asecφ，btanφ)，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1·d2＝|absecφ＋abtanφ|b2＋a2·|absecφ－abtanφ|b2＋－a2＝|a2b2sec2φ－tan2φ|a2＋b2＝a2b2a2＋b2(定值).圆的参数方程的应用[探究问题]1．给定参数方程x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα，其中a，b是常数．(1)如果r是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？(2)如果α是常数，r是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？-7-[提示](1)参数方程表示的曲线是以(a，b)为圆心，r为半径的圆(r≠0)．(2)参数方程表示的曲线是过(a，b)点，且倾斜角为α的直线．2．圆的参数方程中，参数有什么实际意义？[提示]在圆的参数方程中，设点M绕点O转动的角速度为ω(ω为常数)，转动的某一时刻为t，因此取时刻t为参数可得圆的参数方程为：x＝rcosωt，y＝rsinωt(t为参数)，此时参数t表示时间．若以OM转过的角度θ(∠M0OM＝θ)为参数，可得圆的参数方程为x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)，此时θ具有明显的几何意义．3．利用圆的参数方程表示其上任意点坐标时有什么优越性？[提示]将其横纵坐标只用一个参数(角)来表示，可将与点的坐标有关的问题转化为三角问题求解．【例4】设方程x＝1＋cosθ，y＝3＋sinθ(θ为参数)表示的曲线为C.(1)判断C与直线x＋3y－2＝0的位置关系；(2)求曲线C上的动点到原点O的距离的最小值；(3)点P为曲线C上的动点，当|OP|最小时(O为坐标原点)，求点P的坐标；(4)点M是曲线C上的动点，求其与点Q(－1，－3)连线中点的轨迹．[精彩点拨]本题考查圆的参数方程的应用，以及运算和转化与化归能力．(1)利用圆心到直线的距离与半径的关系判断．(2)设P的坐标表示出|OP|，利用三角函数知识求最值．(3)利用(2)取最小值的条件即可．(4)设出点M的坐标，进而表示出MQ中点坐标，即得轨迹的参数方程．[尝试解答](1)曲线C是以(1，3)为圆心，半径为1的圆，则圆心(1，3)到直线x＋3y－2＝0的距离为|1＋3×3－2|12＋32＝1，故直线和圆相切．(2)设圆上的点P(1＋cosθ，3＋sinθ)(0≤θ2π)．|OP|＝1＋cosθ2＋3＋sinθ2＝5＋4cosθ－π3，当θ＝4π3时，|OP|min＝1.-8-(3)由(2)知，θ＝4π3，∴x＝1＋cos4π3＝12，y＝3＋sin4π3＝32，P12，32.(4)设MQ的中点为(x，y)．∵M(1＋cosθ，3＋sinθ)，Q(－1，－3)，∴x＝1＋cosθ－12＝12cosθ，y＝－3＋3＋sinθ2＝12sinθ(θ为参数)．所以中点轨迹是以原点为圆心，12为半径的圆．1．与圆的参数方程有关的问题求解时，可直接利用参数方程求解，也可转化为普通方程问题求解．2．与圆上点有关的距离最值问题，需建立目标函数求解时，常利用圆的参数方程，将圆上的点用角表示，从而将待求最值，转化为三角函数的最值问题求解，但要注意参数θ的取值范围．4．如图，设矩形ABCD的顶点C的坐标为(4,4)，点A在圆x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移动，且AB，AD两边分别平行于x轴，y轴．求矩形ABCD面积的最小值及对应点A的坐标．[解]设A(3cosθ，3sinθ)(0＜θ＜90°)，则|AB|＝4－3cosθ，|AD|＝4－3sinθ，∴S＝|AB|·|AD|＝(4－3cosθ)(4－3sinθ)＝16－12(cosθ＋sinθ)＋9cosθsinθ.令t＝cosθ＋sinθ(1＜t≤2)，则2cosθsinθ＝t2－1.∴S＝16－12t＋92(t2－1)＝92t2－12t＋232＝92t－432＋72，∴t＝43时，矩形ABCD的面积S取得最小值72.-9-此时cosθ＋sinθ＝43，cosθsinθ＝718，解得cosθ＝4±26，sinθ＝4∓26.∴对应点A的坐标为2＋22，2－22或2－22，2＋22.1．圆的参数方程为：x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为()A．(0,2)B．(0，－2)