2019-2020学年高中数学 第3章 统计案例 1 回归分析学案 北师大版选修2-3

-1-1.1回归分析1.2相关系数1.3可线性化的回归分析学习目标核心素养1.了解回归分析的思想和方法．(重点)2．掌握相关系数的计算和判断线性相关的方法．(重点)3．了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)通过对回归分析的学习，培养“逻辑推理”、“数学抽象”、“数学运算”的数学素养.1．回归分析设变量y对x的线性回归方程为y＝a＋bx，由最小二乘法知系数的计算公式为：b＝lxylxx＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a＝y－bx.思考：在回归分析中，通过线性回归方程求出的函数值一定是实数值吗？为什么？[提示]不一定是实数值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食情况，是否喜欢运动等．2．相关系数(1)相关系数r的计算假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间线性相关系数r＝lxylxxlyy＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2i＝1nyi－y2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2i＝1ny2i－ny2.(2)相关系数r与线性相关程度的关系-2-①r的取值范围为[－1,1]；②|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高；③|r|值越接近0，误差Q越大，变量之间的线性相关程度越低．3．相关性的分类①当r0时，两个变量正相关；②当r0时，两个变量负相关；③当r＝0时，两个变量线性不相关．4．可线性化的回归分析(1)非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．(2)非线性回归方程曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数y＝axb(a＝1，b＞0)(a＝1，b＜0)c＝lnav＝lnxu＝lnyu＝c＋bvy＝aebx(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnau＝lnyu＝c＋bxy＝aebx(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnav＝1xu＝lnyu＝c＋bvy＝a＋blnx(b＞0)(b＜0)v＝lnxu＝yu＝a＋bv1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个变量的相关系数r＞0，则两个变量正相关．()(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．()(3)若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负．()-3-[答案](1)√(2)×(3)√2．相关系数r的取值范围是()A．[－1,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．(－1,1)[答案]A3．下列数据x，y符合哪一种函数模型()x12345678910y22.6933.383.63.844.084.24.3A．y＝2＋13xB．y＝2exC．y＝2e1xD．y＝2＋lnxD[分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋lnx．]4．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得线性回归方程可能为()A．y＝0.4x＋2.3B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5D．y＝－0.3x＋4.4A[本题考查了线性回归方程，由已知变量x与y正相关，排除C，D选项．将点(3,3.5)代入A、B选项的方程中可知，选项A成立，所以选A.]变量间的相关关系及判断【例1】(1)两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：①若r＞0，则x增大时，y也随之相应增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有()A．①②B．②③C．①③D．①②③(2)有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量．其中两个变量成正相关的是()A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤[解](1)根据两个变量的相关性与其相关系数r之间的关系知，①③正确，②错误，故-4-选C.(2)其中①③成负相关关系，②⑤成正相关关系，④成函数关系，故选C.[答案](1)C(1)C(2)C1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．1．下列两变量中具有相关关系的是()A．正方体的体积与边长B．人的身高与体重C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D．球的半径与体积B[选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；选项D中球的体积是43π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B中人的身高与体重具有相关关系．]线性回归方程【例2】某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．[解](1)散点图如图．-5-(2)x＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑5i＝1从图中可以发现x与y有线性相关关系，当x由小到大变化时，y也由小变大．图中的数据点近似分布在一条直线的附近，因此，x与y近似成线性相关关系．