2019-2020学年高中数学 第2章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和（第2课时）等比数列前n

-1-第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标核心素养1.掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3．能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)1.通过等比数列前n项和性质的学习，体现了学生的逻辑推理素养．2．借助等差、等比数列求和的综合应用，考查学生的数据分析素养.等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①Sn＋m＝Sn＋qnSm.②在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则S偶S奇＝q.③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A．31B．33C．35D．37B[根据等比数列性质得S10－S5S5＝q5，∴S10－11＝25，∴S10＝33.]2．已知等比数列{an}的公比q＝13，则a1＋a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＋a8＝________.3[∵q＝a2a1＝a4a3＝a6a5＝a8a7，∴a1＋…＋a7a2＋…＋a8＝1q＝3.]3．等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.-2-210[法一：由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.法二：设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则a11－q51－q＝10，①a11－q101－q＝50，②由①÷②得1＋q5＝5，所以q5＝4，代入①得a11－q＝－103，所以S15＝a11－q151－q＝－103×(1－43)＝210.]等比数列前n项和Sn的函数特征【例1】设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N＋)，则f(n)等于()A．27(8n－1)B．27(8n＋1－1)C．27(8n＋2－1)D．27(8n＋3－1)[解析]f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1＝21－8n＋11－8＝27(8n＋1－1)．[答案]B数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n项和公式都是关于n的函数．所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法．-3-1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.－13[显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝13·3n＋t，∴t＝－13.]等比数列前n项和性质的应用【例2】已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．[证明]法一：设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴S2n＋S22n＝n2a21＋4n2a21＝5n2a21，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a21，∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，Sn＝a11－q(1－qn)，S2n＝a11－q(1－q2n)，S3n＝a11－q(1－q3n)，∴S2n＋S22n＝a11－q2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝a11－q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝a11－q2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．法二：根据等比数列性质，有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴S2n＋S22n＝S2n＋[Sn(1＋qn)]2＝S2n(2＋2qn＋q2n)，Sn(S2n＋S3n)＝S2n(2＋2qn＋q2n)．∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n)．-4-运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．2．在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.[解]法一：因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由已知得a11－qn1－q＝48，①a11－q2n1－q＝60，②②÷①得1＋qn＝54，即qn＝14，③将③代入①得a11－q＝64，所以S3n＝a11－q3n1－q＝64×1－143＝63.法二：∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，∴S3n＝S2n－Sn2Sn＋S2n＝60－48248＋60＝63.等差、等比数列的性质应用对比[探究问题]1．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝6，则an＝________；若将{an}改为等比数列，则an＝________.[提示]法一：若{an}为等差数列，则a1＋2d＝－6，a1＋5d＝6，解得a1＝－14，d＝4，所以an＝4n－18，若{an}为等比数列，则a1q2＝－6，a1q5＝6，解得a1＝－6，q＝－1，所以an＝－6·(－1)n－1＝6(－1)n.法二：若{an}为等差数列，由6＝－6＋3d得d＝4，所以an＝－6＋(n－3)×4，即an＝4n－18.-5-若{an}为等比数列，由6＝(－6)·q3得q＝－1，所以an＝(－6)·(－1)n－3＝6·(－1)n.2．在1和16之间插入三个正数a，b，c使1，a，b，c,16成等比数列，则a＋b＋c＝________，a·b·c＝________，若将“等比数列”改为“等差数列”又应如何求解？[提示]若1，a，b，c,16成等比数列，则1，b,16成等比数列，所以b＝4；1，a，b与b，c,16也都成等比数列，所以a＝2，c＝8，故a＋b＋c＝14，abc＝b3＝64；若1，a，b，c,16成等差数列，用类似的方法求a＋b＋c及abc．3．若Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S2＝1，S4＝3，则S6＝________，若将“等差数列”改为“等比数列”结果又是多少？[提示]若{an}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也为等差数列，即1,2，S6－3成等差数列，所以S6－3＋1＝4，则S6＝6；若{an}为等比数列，则1,2，S6－3成等比数列，所以S6－3＝4，则S6＝7.【例3】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝1－12n，n∈N＋，求{bn}的前n项和Tn.[思路探究](1)解决{an}的通项公式关键是利用方程(组)的思想求a1，d．(2)解决本小题关键是认识到b1a1＋b2a2＋…＋bnan是数列bnan的前n项和．求解时先利用“Sn与an的关系”求出bnan的通项bnan，再求出bn，进一步求和．[解](1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得4a1＋6d＝8a1＋4d，a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1，解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈N＋.(2)由已知b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝1－12n，n∈N＋，当n＝1时，b1a1＝12；当n≥2时，bnan＝1－12n－1－12n－1＝12n.所以bnan＝12n，n∈N＋.-6-由(1)知an＝2n－1，n∈N＋，所以bn＝2n－12n，n∈N＋.所以Tn＝12＋322＋523＋…＋2n－12n，12Tn＝122＋323＋…＋2n－32n＋2n－12n＋1.两式相减，得12Tn＝12＋222＋223＋…＋22n－2n－12n＋1＝32－12n－1－2n－12n＋1，所以Tn＝3－2n＋32n.1．本题对于b1a1＋b2a2＋…＋bnan＝1－12n式的处理运用了和式的思想，这也是求数列通项公式的基本方法．2．求解数列综合问题的步骤(1)分析题设条件．(2)分清是an与an＋1的关系，还是an与Sn的关系．(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意an＝Sn－Sn－1(n≥2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用．(4)整理求解．3．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.[解](1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减，得-7-an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．又∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＝3n－1.(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d．又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.解得d1＝2，d2＝－10.∵等差数列{bn}的各项为正，∴d0，∴d＝2.Tn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.1．本节课的重点是等比数列前n项和的性质．2．本节课应重点掌握的规律方法(1)数列{an}为公比不为1的等比数列，Sn为其前n项和，Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成等比数列．(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)．(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和，则(ⅰ)在其前2n项中，S偶S奇＝q；(ⅱ)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝a1＋a2n＋1q1－－q＝a1＋a2n＋21＋q(q≠－1)．3．错位相减法适用于{an·bn}形式(其中{an}代表等差数列，{bn}代表等比数列)的数列的求和，即一个等差数列和一个等比数列的积构成的数列求和可以采用错位相减法．当公比q不确定时，要注意对q≠1与q＝1分开讨论．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{an}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2.()-8-(2)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1－1，则a＝1.()(3)若数列{an}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．()(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．()[解析](1)×.因为由等比数列前n项和的性质S偶S奇＝q，得q＝120240＝12.(2)×.因为由Sn＝a11－qn1－q＝－a11－qqn＋a11－q，知在Sn＝a·3n－1－1＝a3·3n－1中a3＝1，故a＝3.(3)√.因为a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q4(a1＋a2)，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列．(4)×.因为在等比数列中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，故S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝()A．1－an1－aB．1－an－11－aC．1－an1－aa≠1na＝1D．1－an－11－aa≠1na＝1C[当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝1－an1－a.]3．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝5n＋k，则实数k＝________.－1[法一：当n＝1