2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及

1第2课时补集及集合的综合应用[目标]1.理解全集与补集的含义，会求给定子集的补集；2.能用Venn图表达集合的关系及运算；3.能利用集合的相关运算解决有关的实际应用问题，意在培养数学建模及数学运算的核心素养．[重点]全集与补集的含义，求补集以及用Venn图表达集合的运算．[难点]集合的综合运算及应用.知识点补集[填一填]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA.符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言3.补集的性质(1)∁UU＝∅；(2)∁U∅＝U；(3)(∁UA)∪A＝U；(4)A∩(∁UA)＝∅；(5)∁U(∁UA)＝A.[答一答]1．全集是不是一个固定不变的集合？集合A的补集是不是唯一的？提示：全集不是固定不变的，它因研究问题的改变而改变；A的补集不唯一，随全集的改变而改变．2．∁UA的含义是什么？提示：∁UA的含义：∁UA包含的三层意思2①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．3．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”．(1)∁A∅＝A.(√)(2)∁NN*＝{0}．(√)(3)∁U(A∪B)＝(∁UA)∪(∁UB)．(×)类型一补集的简单运算[例1]已知集合A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，求∁R(A∪B)；B∩(∁RA)．[解]集合A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}．如图，将集合A，B在数轴上表示出来．易知A∪B＝{x|3≤x7}∪{x|2x10}＝{x|2x10}，∁RA＝{x|x3或x≥7}．∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．B∩(∁RA)＝{x|2x10}∩{x|x3或x≥7}＝{x|2x3或7≤x10}．求解与补集有关的运算时，首先明确全集是什么，然后根据补集即全集中去掉该集合中元素后剩余元素构成的集合求出补集，再根据补集求解与补集有关的运算.[变式训练1]设U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤3}．求(1)(∁UA)∪B；(2)(∁UA)∩(∁UB)．解：(1)∵U＝{x|x≤4}，A＝{x|－1≤x≤2}．∴∁UA＝{x|x－1或2x≤4}．∴(∁UA)∪B＝{x|x－1或2x≤4}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x－1或1≤x≤4}．(2)∵U＝{x|x≤4}，B＝{x|1≤x≤3}．∴∁UB＝{x|x1或3x≤4}．3∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x－1或2x≤4}∩{x|x1或3x≤4}＝{x|x－1或3x≤4}．类型二Venn图的应用命题视角1：利用Venn图进行有限数集的运算[例2]设全集U＝{x|x≤20的质数}，A∩(∁UB)＝{3,5}，(∁UA)∩B＝{7,19}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.[分析]题目给出的关系较复杂，不易理清，所以用Venn图解答．[解]易得U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．由题意，利用如图所示的Venn图，知集合A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．与集合有关的复杂题目，通常利用Venn图，将集合中元素的个数，以及集合间的关系直观地表示出来，进而根据图示逐一将文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言，利用方程思想解决问题.[变式训练2]设全集U＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝{4}，∁U(A∪B)＝{1,5}，下列结论正确的是(A)A．3∈A,3∉BB．3∉A,3∈BC．3∈A,3∈BD．3∉A,3∉B解析：根据条件画出Venn图，如图，3∈A,3∉B.命题视角2：利用Venn图进行抽象集合的运算[例3]如图，请用集合U，A，B，C分别表示下列部分所表示的集合：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，4Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ.[解]区域Ⅰ是三个集合的公共部分，因此Ⅰ＝A∩B∩C；区域Ⅱ是集合A与B的交集与集合C在U中的补集的交集，因此Ⅱ＝(A∩B)∩(∁UC)；区域Ⅲ是集合A与C的交集与集合B在U中的补集的交集，因此Ⅲ＝(A∩C)∩(∁UB)；区域Ⅳ是集合B与C的交集与集合A在U中的补集的交集，因此Ⅳ＝(B∩C)∩(∁UA)；区域Ⅴ是集合A与集合B∪C在U中的补集的公共部分构成的，因此Ⅴ＝A∩[∁U(B∪C)]；同理可求Ⅵ＝C∩[∁U(A∪B)]，Ⅶ＝B∩[∁U(A∪C)]．而区域Ⅷ是三个集合A，B，C的并集在U中的补集，因此Ⅷ＝∁U(A∪B∪C)．利用Venn图可以将抽象的问题转化为具体的图形，具有简单、直观的特点.[变式训练3]已知I为全集，集合M，N⊆I,若M∩N＝N，则(C)A．∁IM⊇∁INB．M⊆∁INC．∁IM⊆∁IND．M⊇∁IN解析：根据条件画出Venn图，由补集的定义及集合间的关系可迅速作出选择．5类型三集合在实际问题中的应用[例4]2019年初，某市政府对水、电提价召开听证会，如记“对水提价”为事件A，“对电提价”为事件B.现向100名市民调查其对A，B两事件的看法，有如下结果：赞成A的人数是全体的35，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的市民人数比对A，B都赞成的市民人数的13多1人．问：对A，B都赞成的市民和都不赞成的市民各有多少人？[解]赞成A的人数为100×35＝60，赞成B的人数为60＋3＝63.如图所示，设对事件A，B都赞成的市民人数为x，则对A，B都不赞成的市民人数为x3＋1.依题意，可得(60－x)＋(63－x)＋x＋x3＋1＝100，解得x＝36，即对A，B两事件都赞成的市民有36人，对A，B两事件都不赞成的市民有13人．利用Venn图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解.[变式训练4]某班共有学生30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，68人对这两项运动都不喜欢，求喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数．解：设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜欢篮球运动的学生}，B＝{喜欢乒乓球运动的学生}，设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为15－x，喜欢乒乓球运动但不喜欢篮球运动的人数为10－x，则有(15－x)＋x＋(10－x)＋8＝30，解得x＝3.所以15－x＝15－3＝12，即喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为12.1．设全集为R，集合A＝{x|x2－90}，B＝{x|－1x≤5}，则A∩(∁RB)＝(C)A．{x|－3x0}B．{x|－3x－1}C．{x|－3x≤－1}D．{x|－3x3}解析：∵A＝{x|－3x3}，∁RB＝{x|x≤－1，或x5}，∴A∩(∁RB)＝{x|－3x≤－1}．2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(D)A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}解析：∵U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}．∴∁U(A∪B)＝{x|0x1}．3．已知全集U＝R，A＝{x|1≤xb}，∁UA＝{x|x1，或x≥2}，则实数b＝2.解析：∵∁UA＝{x|x1，或x≥2}．∴A＝{x|1≤x2}．∴b＝2.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3}，集合B＝{3,4,6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为{4,6}．7解析：题图中阴影部分所表示的集合为B∩(∁UA)＝{3,4,6}∩{2,4,5,6}＝{4,6}．5．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，P＝xx≤0，或x≥52，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．解：将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．∵A＝{x|－4≤x2}，B＝{x|－1x≤3}，∴A∩B＝{x|－1x2}，∁UB＝{x|x≤－1，或x3}．又P＝xx≤0，或x≥52，∴(∁UB)∪P＝xx≤0，或x≥52.又∁UP＝x0x52，∴(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1x2}∩x0x52＝{x|0x2}．——本课须掌握的两大问题1．在进行集合间的基本运算时，除了紧扣定义和性质，还要注意以下方法与技巧：(1)进行集合运算时，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．(2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集．(3)若所给集合是有限集，可先把集合中的元素一一列举出来，然后再结合交集、并集、补集的定义求解．另外，此类问题在解答过程中常常借助Venn图来求解．若所给集合是无限集(数集)，在进行运算时常借助数轴，把已知集合表示在同一数轴上，再根据交集、并集、8补集的定义求解，解题过程中要注意端点问题．2．解决有关集合的实际应用题时，要学会将文字语言转化为集合语言．涉及交叉有限集的元素个数问题往往用Venn图法处理较为方便．学习至此，请完成课时作业5学科素养培优精品微课堂补集思想的应用开讲啦对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时，应从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，化难为易、化隐为显，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略．“正难则反”策略运用的是补集思想，也是处理问题的间接化原则的体现．运用补集思想求参数的取值范围的步骤：①否定已知条件，考虑反面问题；②求解反面问题对应参数的范围；③对反面问题对应参数的范围取补集．[典例]已知集合A＝{x|x2－5x－6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围．[分析]B∪A≠A，说明B⃘A，这时我们可以先由B∪A＝A，求出实数a的取值范围，再利用“补集思想”求解．[解]若B∪A＝A，则B⊆A.∵A＝{x|x2－5x－6＝0}＝{－1,6}，∴集合B有以下三种情况：①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)0，即a216，∴a－4或a4.②当B是单元素集合时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，∴a＝－4或a＝4.若a＝－4，则B＝{2}⃘A；若a＝4，则B＝{－2}⃘A.③当B＝{－1,6}时，－1,6是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两个根，∴－a＝－1＋6，a2－12＝－1×6，a的值不存在．综上可得，当B∪A＝A时，实数a的取值范围为{a|a－4或a4}．故若B∪A≠A，则实数a的取值范围为{a|－4≤a≤4}．[名师点评]值得注意的是在使用补集思想解题时，需要明确全集是什么，子集是什么，否则就会出错．[对应训练]已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x0，x∈R}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．9解：由题知A≠∅，所以设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝mm≤－1或m≥32.若A∩B＝∅，则方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，故m∈U，x1＋x2＝4m≥0，x1x2＝2m＋6≥0，解得m≥32.因为集合mm≥32相对于集合U的补集为{m|m≤－1}，所以实数m的取值范围为{m|m≤－1}．