2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题七 系列4选考 第1讲 坐标系与参数方程教学案（选修4-4

-1-第1讲选修4－4坐标系与参数方程[考情考向·高考导航]高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.2．(2019·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2y＝4t1＋t2，(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．-2-解：(1)曲线C参数方程为x＝1－t21＋t2①y＝4t1＋t2②由①2＋②22得x2＋y22＝1，又∵－1＜1－t21＋t2≤1，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)．由x＝ρcosθy＝ρsinθ，得直线l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)C上的点(cosθ，2sinθ)到直线l的距离d＝|2cosθ＋23sinθ＋11|4＋3＝4sinθ＋π6＋117当sinθ＋π6＝－1时，dmin＝7.即C上的点到l距离的最小值为7.[主干整合]1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝α；-3-(2)直线过点M(a,0)(a＞0)且垂直于极轴；ρcosθ＝a；(3)直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于Mr，π2，半径为r：ρ＝2rsinθ.4．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P→的数量．5．圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)．热点一极坐标方程及其应用数学运算素养数学运算——极坐标应用问题中的核心素养数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，在极坐标应用中加强运算求解能力和转化与化归思想.[例1](2019·全国Ⅲ卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，-4-曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．[审题指导](1)依据条件直接写出圆的极坐标方程，因为是圆弧，所以要对极角θ进行范围限制．(2)根据点P在三段圆弧上的不同情况分类讨论，由|OP|＝3分别求出极角，从而确定点P的极坐标．[解](1)由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.极坐标方程问题的求解方法有关曲线的极坐标方程的问题中，常见的有直线与圆的交点问题，圆心到直线的距离问题等．一般情况下，解决的方案是：化极坐标方程为平面直角坐标方程，然后用平面解析几何的方法解决问题，必要时，还要把结果返回到极坐标系中．(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(π6－θ)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：-5-因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin(π6－θ)＝2，则直线l过A(4,0)，倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝π6.连结OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝π2，所以AB＝OA·cos∠OAB＝4cosπ6＝23.因此，直线l被曲线C截得的弦长为23.热点二参数方程及其应用[例2](2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．[审题指导](1)直接消去参数可得曲线的直角坐标方程，注意对相关系数的分类讨论；(2)利用直线参数方程中参数的几何意义求解．[解析](1)曲线C的参数方程为x＝2cosθy＝4sinθ(θ为参数)，∴x24＋y216＝1.直线l的参数方程为x＝1＋tcosαy＝2＋tsinα(t为参数)∴y－2x－1＝tanα(α≠90°)，即tanα·x－y＋2－tanα＝0，当α＝90°时，x＝1.-6-综上，l：tanα·x－y＋2－tanα＝αx＝α＝(2)当α＝90°，点(1,2)不为中点，∴不成立．当a≠90°，把l代入曲线C中得：4x2＋[tanα·(x－1)＋2]2＝16，化简得：(4＋tan2α)x2＋(4tanα－2tan2α)x＋tan2α－4tanα－12＝0，∵点(1,2)为弦的中点，∴x1＋x2＝2，即2tan2α－4tanα4＋tan2α＝2，∴tanα＝－2，∴直线l的斜率k＝－2.参数方程与普通方程的互化及应用技巧(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．但在消参时要注意参数范围等价变形．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθy＝sinθ，(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解析：(1)⊙O的普通方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点且当且仅当21＋k2＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinα(t为参数，π4＜α＜3π4)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，-7-且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα.所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2α(α为参数，π4＜α＜3π4)．热点三极坐标与参数方程的综合应用[例3](2020·广东七校联考)已知椭圆C：x＝2cosφy＝sinφ(φ为参数)，A，B是椭圆C上的动点，且满足OA⊥OB(O为坐标原点)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为4，π3.(1)求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程．(2)利用椭圆C的极坐标方程证明1|OA|2＋1|OB|2为定值，并求△AOB面积的最大值．[审题指导](1)利用参数法求出轨迹E的参数方程，再化为普通方程即可；(2)求出椭圆C的极坐标方程，由题设条件设出A，B两点的极坐标，代入椭圆C的极坐标方程即可证明1|OA|2＋1|OB|2为定值，利用极坐标建立关于△AOB面积的函数解析式，从而求出△AOB面积的函数解析式，从而法度出△AOB面积的最大值．[解析](1)点D的直角坐标为(2,23)．由题意可设点A的坐标为(2cosα，sinα)，则AD的中点M的坐标为1＋cosα，3＋12sinα，所以点M的轨迹E的参数方程为x＝1＋cosαy＝3＋12sinα(α为参数)，消去α可得E的普通方程为(x－1)2＋4(y－3)2＝1.(2)椭圆C的普通方程为x24＋y2＝1.化为极坐标方程得ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，变形得ρ＝21＋3sin2θ.-8-由OA⊥OB，不妨设A(ρ1，θ)，Bρ2，θ＋π2，所以1|OA|2＋1|OB|2＝1ρ21＋1ρ22＝1＋3sin2θ4＋1＋3sin2θ＋π24＝2＋3sin2θ＋3cos2θ4＝54(定值)．所以△AOB的面积S＝12ρ1ρ2＝2＋3sin2θ＋3cos2θ＝21＋3＋9sin2θcos2θ＝24＋94sin22θ易知当sin2θ＝0时，△AOB的面积取得最大值1.1．涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．(2020·惠州质检)已知曲线C的极