2021版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.7 离散型随机变量的均值

-1-第七节离散型随机变量的均值与方差、正态分布[最新考纲]1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的分布列、均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差：称D(X)＝∑ni＝1[xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差均值方差变量X服从两点分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)X～B(n，p)E(X)＝npD(X)＝np(1－p)4.正态分布(1)正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．-2-(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.[常用结论]1．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X)．2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(2)若X～N(μ，σ2)，则μ，σ2分别表示正态分布的均值和方差．()(3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√二、教材改编1．已知X的分布列为X－101P1213a设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73B．4C．－1D．1A[由概率分布列的性质可知：12＋13＋a＝1，∴a＝16.∴E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.∴E(Y)＝3＋2E(X)＝3－23＝73.]2．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为．0[∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，-3-∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.]3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X2c－1)＝P(Xc＋3)，则c＝.43[∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于x＝3对称，且P(X2c－1)＝P(Xc＋3)，∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝43.]4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是．乙[E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因为E(Y)E(X)，所以乙技术好．]考点1求离散型随机变量的均值、方差求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．(2)求X取每个值时的概率．(3)写出X的分布列．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求D(X)．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学-4-期望E(ξ)，方差D(ξ)．[解](1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，两人都付0元的概率为p1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为p2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为p3＝1－14－12×1－16－23＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝124＋13＋124＝512.(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：P(ξ＝0)＝14×16＝124；P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14；P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512；P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14；P(ξ＝160)＝14×16＝124.ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003.(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．[教师备选例题]1．(2019·杭州模拟)已知0＜a＜12，随机变量ξ的分布列如下：-5-ξ－101Pa12－a12当a增大时，()A．E(ξ)增大，D(ξ)增大B．E(ξ)减小，D(ξ)增大C．E(ξ)增大，D(ξ)减小D．E(ξ)减小，D(ξ)减小B[由题意得，E(ξ)＝－a＋12，D(ξ)＝－a＋12＋12×a＋－a＋12212－a＋－a＋12－12×12＝－a2＋2a＋14，又∵0＜a＜12，∴当a增大时，E(ξ)减小，D(ξ)增大．]2．设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝53，D(η)＝59，求a∶b∶c.[解](1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6，故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ23456P141351819136(2)由题意知η的分布列为-6-η123Paa＋b＋cba＋b＋cca＋b＋c所以E(η)＝aa＋b＋c＋2ba＋b＋c＋3ca＋b＋c＝53，D(η)＝1－532·aa＋b＋c＋2－532·ba＋b＋c＋3－532·ca＋b＋c＝59，化简得2a－b－4c＝0，a＋4b－11c＝0.解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.1.(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)P(X＝6)，则p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3B[由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4)P(X＝6)，得C410p4(1－p)6C610p6(1－p)4，即(1－p)2p2，所以p0.5，所以p＝0.6.]2．大豆是我国主要的农作物之一，因此，大豆在农业发展中占有重要的地位，随着农业技术的不断发展，为了使大豆得到更好的种植，就要进行超级种培育研究．某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205kg.已知每粒豆苗种子成活的概率为12(假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η(kg)，求随机变量ξ分布列及η的数学期望Eη.[解](1)设每株豆子成活的概率为P0，则P0＝1－1－123＝78.所以4株中恰好有3株成活的概率P＝C347831－781＝3431024.(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η＝2.205ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B4，78，所以ξ的分布列如下表：-7-∴Eξ＝4×78＝3.5，Eη＝E(2.205ξ)＝2.205·Eξ＝7.7175(kg)．考点2均值与方差在决策中的应用利用均值、方差进行决策的2个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．(2)若两随机变量均值相同或相差不大．则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．[解]若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300－150P7929∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200.若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为X2500－3000P3513115∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200.-8-D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35000，D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140000.∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．[教师备选例题]某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定