2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3.2 补集及集合运算的综合应

1第2课时补集及集合运算的综合应用1．理解全集、补集的概念．2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．3．会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2．补集温馨提示：∁UA的三层含义：(1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；2(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．1．A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．(1)集合A，B，U有何关系？(2)B中元素与U和A有何关系？[答案](1)U＝A∪B(2)B中的元素在U中，不在A中2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全集是由任何元素组成的集合．()(2)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．()(3)集合∁BC与∁AC相等．()(4)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√题型一补集的运算【典例1】(1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x5}，则∁UA＝________________；(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________________.[思路导引]借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．[解析](1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x－3或x＝5}．(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．3又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．解法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案](1){x|x－3或x＝5}(2){2,3,5,7}求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．[针对训练]1．设全集U＝R，集合A＝{x|2x≤5}，则∁UA＝________________.[解析]用数轴表示集合A为图中阴影部分，∴∁UA＝{x|x≤2或x5}．[答案]{x|x≤2或x5}2．设U＝{x|－5≤x－2或2x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝_______________，∁UB＝________________.[解析]解法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．解法二：可用Venn图表示．4则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．[答案]{－5，－4,3,4}{－5，－4,5}题型二交集、并集、补集的综合运算【典例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.[解]把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2x3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3x≤－2或x＝3}．解决集合交、并、补运算的2个技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．[针对训练]3．设集合S＝{x|x－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于()A．{x|－2x≤1}B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}[解析]∵S＝{x|x－2}，∴∁RS＝{x|x≤－2}．5而T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．[答案]C4．设全集为R，A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，则∁R(A∪B)＝________________，(∁RA)∩B＝________________.[解析]由题意知，A∪B＝{x|2x10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．又∁RA＝{x|x3或x≥7}．∴(∁RA)∩B＝{x|2x3或7≤x10}．[答案]{x|x≤2或x≥10}{x|2x3或7≤x10}题型三利用集合间的关系求参数【典例3】设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2x4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．[思路导引]理清集合间的关系，分类求解．[解]由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x－m}，因为B＝{x|－2x4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.[变式](1)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？(2)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？[解](1)由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m－2，解得m2.(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.6利用集合关系求参数的2个注意点(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．[针对训练]5．已知集合A＝{x|xa}，B＝{x|1x3}．(1)若A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围；(2)若A(∁RB)，求实数a的取值范围．[解](1)∵B＝{x|1x3}，∴∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，因而要使A∪(∁RB)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.(2)∵A＝{x|xa}，∁RB＝{x|x≤1或x≥3}．要使A(∁RB)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.课堂归纳小结1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想7做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}[解析]∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0x1}．故选D.[答案]D2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝()A．{3}B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2}D．{1,2,3}[解析]由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．[答案]C3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝()A．{1,2,7,8}B．{4,5,6}C．{0,4,5,6}D．{0,3,4,5,6}[解析]∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁UA＝{0,2,4,5,6,8}，∁UB＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{0,4,5,6}．[答案]C4．全集U＝{x|0x10}，A＝{x|0x5}，则∁UA＝________.[解析]∁UA＝{x|5≤x10}，如图所示．8[答案]{x|5≤x10}5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁UA＝{5}，求实数a的值．[解]∵∁UA＝{5}，∴5∈U，但5∉A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3，这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．∴∁UA＝{5}，适合题意．∴a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁UA无意义，故a＝－4应舍去．综上所述，a＝2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．空集是任何非空集合的真子集，即∅A(而A≠∅)．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A的子集”、“∅⊆∅”等结论．在解决诸如A⊆B或AB类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．【典例1】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A的a的值组成的集合．[解]由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ0，∴－3(a2－16)0，解得a－4或a4.此时B⊆A.(2)若B≠∅，则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．9①若B＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝－2，∴(－2)2＋(－2)a＋a2－12＝0，即a2－2a－8＝0.解得a＝4或a＝－2.当a＝4时，恰有Δ＝0；当a＝－2时，Δ0，舍去．∴当a＝4时，B⊆A.②若B＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝4，∴42＋4a＋a2－12＝0，解得a＝－2，此时Δ0，舍去．③若B＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4，由①②知a＝－2，此时Δ0，－2与4恰是方程的两根．∴当a＝－2时，B⊆A.综上所述，满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a－4或a＝－2或a≥4}．[点评]∅有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A，皆有A∩∅＝∅；(2)对于任意集合A，皆有A∪∅＝A.正因如此，如果A∩B＝∅，就要考虑集合A或B可能是∅；如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是∅.【典例2】设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1x2a，a∈R}，N＝{x|－1x3}，若N⊆(∁UM)，求实数a的取值集合．[解]根据题意可知：N≠∅，又∵N⊆(∁UM)．①当M＝∅，即3a－1≥2a时，a≥1.此时∁UM＝R，N⊆(∁UM)显然成立．②当M≠∅，即3a－12a时，a1.由M＝{x|3a－1x2a}，知∁UM＝{x|x≤3a－1或x≥2a}．又∵N⊆(∁UM)，∴结合数轴分析可知a1，3≤3a－1，或