2021高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“

-1-第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[最新考纲]1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(对应学生用书第6页)1．全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：¬p且¬q；p且q的否定：¬p或¬q.4．逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真[常用结论]1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p或q：p，q中有一个为真，则p或q为真，即有真即真．(2)p且q：p，q中有一个为假，则p且q为假，即有假即假．(3)¬p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．-2-3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．()(2)若命题p且q为假命题，则命题p，q都是假命题．()(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()(4)“全等三角形的面积相等”是全称命题．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．命题“对任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．存在x0∈R，x20＋x0≤0B．存在x0∈R，x20＋x0＜0C．对任意x∈R，x2＋x≤0D．对任意x∈R，x2＋x＜0B[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B.]2．下列命题中的假命题是()A．存在x0∈R，lgx0＝1B．存在x0∈R，sinx0＝0C．对任意x∈R，x3＞0D．对任意x∈R,2x＞0C[当x＝10时，lg10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，对任意x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C.]3．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p或q，p且q中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4B[p和q显然都是真命题，所以¬p，¬q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．]4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．存在一个实数的平方不是正数[全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．](对应学生用书第7页)⊙考点1全称命题、特称命题(1)全称命题与特称命题的否定-3-①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．②否定结论：对原命题的结论进行否定．(2)全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假全称命题、特称命题的否定(1)(2019·西安模拟)命题“对任意x＞0，xx－1＞0”的否定是()A．存在x＜0，xx－1≤0B．存在x＞0,0≤x≤1C．对任意x＞0，xx－1≤0D．对任意x＜0,0≤x≤1(2)已知命题p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则¬p为()A．存在m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．对任意m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．存在m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．对任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数(1)B(2)D[(1)因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0,0≤x≤1，故选B.(2)由特称命题的否定可得¬p为“对任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]全(特)称命题的否定方法：任意x∈M，p(x)存在x0∈M，¬p(x0)，简记：改量词，否结论．全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是()A．对任意x∈R，x2≥0B．对任意x∈R,2x－1＞0C．存在x0∈R，lgx0＜1D．存在x0∈R，sinx0＋cosx0＝2(2)下列四个命题：-4-p1：存在x0∈(0，＋∞)，12x0＜13x0；p2：存在x0∈(0,1)，log12x0＞log13x0；p3：对任意x∈(0，＋∞)，12x＞log12x；p4：对任意x∈0，13，12x＜log13x.其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4(1)D(2)D[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lgx＜1，所以C正确；因为sinx＋cosx＝2sinx＋π4，所以－2≤sinx＋cosx≤2，所以D错误．(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有12x0＞13x0成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝12时，有1＝log1212＝log1313＞log1312成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝12x与对数函数y＝log12x在(0，＋∞)上的图像，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝12x与对数函数y＝log13x在0，13上的图像可以判断p4是真命题．]因为命题p与¬p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1.命题“任意n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．对任意n∈N*，f(n)N*且f(n)＞nB．对任意n∈N*，f(n)N*或f(n)＞nC．存在n0∈N*，f(n0)N*且f(n0)＞n0D．存在n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)＞n0-5-D[“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)N*或f(n)＞n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.]2．已知命题p：存在x0∈0，π2，使得cosx0≤x0，则¬p为________，是________(填“真”或“假”)命题．对任意x∈0，π2，都有cosx＞x假[¬p：对任意x∈0，π2，都有cosx＞x，此命题是假命题．]⊙考点2含有逻辑联结词的命题的真假判断判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)判断复合命题的结构；(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假；(3)依据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判断即可．[一题多解]记不等式组x＋y≥6，2x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：对任意(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q②¬p或q③p且¬q④¬p且¬q这四个命题中，所有真命题的编号是()A．①③B．①②C．②③D．③④A[法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线y＝2x－z的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：存在(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；命题q：任意(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．故选A.法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组x＋y≥6，2x－y≥0，且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．∴①③真，②④假．故选A.]含逻辑联结词的命题真假的等价关系(1)p或q真⇔p，q至少一个真⇔(¬p)且(¬q)假；(2)p或q假⇔p，q均假⇔(¬p)且(¬q)真；(3)p且q真⇔p，q均真⇔(¬p)或(¬q)假；-6-(4)p且q假⇔p，q至少一个假⇔(¬p)或(¬q)真；(5)¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．1.(2019·石家庄模拟)命题p：若sinx＞siny，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p或qB．p且qC．qD．¬pB[取x＝π3，y＝5π6，可知命题p为假；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q为真，故¬p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．]2．给定下列命题：p1：函数y＝ax＋x(a＞0，且a≠1)在R上为增函数；p2：存在a，b∈R，a2－ab＋b2＜0；p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．则下列命题中的真命题为()A．p1或p2B．p2且p3C．p1或(¬p3)D．(¬p2)且p3D[对于p1：令y＝f(x)，当a＝12时，f(0)＝120＋0＝1，f(－1)＝12-1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a2－ab＋b2＝a－12b2＋34b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：由cosα＝cosβ，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以(¬p2)且p3为真命题．]⊙考点3由命题的真假确定参数的取值范围根据命题真假求参数的方法步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．-7-[母题探究]1．(变问法)在本例条件下，若p且q为真，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；当q是真命题时，有－2＜m＜2，由m＜0，－2＜m＜2，可得－2＜m＜0.所以实数m的取值范围为(－2,0)．2．(变问法)在本例条件下，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．[解]若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时m＜0，m≥2或m≤－2，所以m≤－2；当p假q真时m≥0，－2＜m＜2，所以0≤m＜2.所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．(2019·福建三校联考)若命题“存在x0∈R，使得3x20＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．[－3，3][命题“存在x0∈R，使得3x20＋2ax0＋1＜0”是假命题，即“对任意x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3.]