2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合的概念学案 新人教

1第1课时集合的概念1．了解集合与元素的含义．2．理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题．3．理解集合与元素的关系．4．掌握数学中一些常见的集合及其记法．1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．4．常用的数集及其记法21．某中学2019年高一年级20个班构成一集合．(1)高一(3)班、高一(2)班是这个集合的元素吗？(2)高二(3)班是这个集合中的元素吗？[答案](1)是(2)不是2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)本班的高个子同学组成集合．()(2)联合国常任理事国组成集合．()(3)由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素．()(4)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√题型一集合的基本概念【典例1】判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．[思路导引]构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．[解](1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．对集合含义的理解3给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．[针对训练]1．下列所给的对象能构成集合的是______．(填序号)①所有的正三角形；②比较接近1的数的全体；③某校高一年级16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的全体；⑤我校教职员工中的年轻人；⑥2的近似值的全体．[解析]①能构成集合，其中的元素需满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“2的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合．[答案]①③④题型二元素与集合的关系【典例2】(1)下列关系中，正确的有()①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[思路导引]判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．[解析](1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－3|＝3，是无理数．故①②③正确，选C．(2)当x＝0时，63－0＝2；当x＝1时，63－1＝3；4当x＝2时，63－2＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.[答案](1)C(2)0,1,2判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．[针对训练]2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为()A．0B．1C．2D．3[解析]∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.[答案]D3．用适当的符号填空：已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A；－5________A．[解析]由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A．令3k＋2＝－5得，k＝－73∉Z.所以－5∉A．[答案]∈∉题型三集合中元素的特性【典例3】已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[思路导引]由集合中元素的确定性和互异性切入．[解析]若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.综上所述a＝－1.[答案]－1[变式](1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．5(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？[解](1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；若a2＝2，则a＝2或a＝－2，符合元素的互异性．所以a的取值为2，2，－2.(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.应用集合元素的特性解题的要点(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．[针对训练]4．已知集合A由三个元素m，m2＋1,1组成，若2∈A，求实数m的值．[解]∵2∈A，∴m＝2或m2＋1＝2，则m＝2或m＝±1.当m＝2时，集合A中的元素为：2,5,1，符合题意；当m＝1时，集合A中的元素为：1,2,1，不满足互异性，舍去；当m＝－1时，集合A中的元素为：－1,2,1，符合题意．综上知，m＝2或m＝－1.课堂归纳小结1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定6要检验是否满足集合中元素的互异性.1．已知a∈R，且a∉Q，则a可以为()A．2B．12C．－2D．－13[解析]2是无理数，所以2∉Q，2∈R.[答案]A2．若由a2,2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是()A．a＝0B．a＝2019C．a＝1D．a＝0或a＝2019[解析]若集合M中有两个元素，则a2≠2019a.即a≠0，且a≠2019.故选C．[答案]C3．下列各组对象能构成集合的有()①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1.A．1组B．2组C．3组D．4组[解析]①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．[答案]C4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a为()A．4B．2C．0D．0或4[解析]当a＝0时，方程变为1＝0不成立，故a＝0不成立；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，a＝4，故选A．[答案]A5．下列说法正确的是________．①及第书业的全体员工形成一个集合；②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；③方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素；④x，3x3，x2，|x|形成的集合中最多有2个元素．7[解析]①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x2－1＝0的解为x＝±1，方程x＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝3x3，x2＝|x|，故正确．[答案]①④课后作业(一)复习巩固一、选择题1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素[解析]A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．[答案]C2．已知集合A由x1的数构成，则有()A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1∉A[解析]很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．[答案]C3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集[解析]由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C．[答案]C4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为()A．2B．2或4C．4D．08[解析]若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A．故选B．[答案]B5．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1B．2C．3D．4[解析]当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，a2＝|a|＝a，a0，－a，a0，所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B．[答案]B二、填空题6．给出下列关系：①13∈Z；②5∈R；③|－5|∉N＋；④|－32|∈Q；⑤π∈R.其中，正确的个数为________．[解析]由Z，R，Q，N＋的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正确的个数为2.[答案]27．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a满足的条件是________．[解析]由元素的互异性，得a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，即a≠±2，且a≠1.[答案]a≠±2且a≠18．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．[解析]①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中元素为－3，－1，－4，满足题意．②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.[答案]0或1三、解答题99．已知集