2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 章末复习教学案 新人教A版必修第一

-1-第4章指数函数与对数函数知识系统整合-2-规律方法收藏1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点．3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题．6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．注意：由f(a)f(b)0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：学科思想培优一、指数、对数函数的典型问题及求解策略指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高-3-考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论．1．求定义域[典例1](1)函数y＝132x－1－27的定义域是()A．[－2，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－2](2)函数f(x)＝1lnx＋1＋4－x2的定义域为()A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2]解析(1)由题意得132x－1－27≥0，所以132x－1≥27，即132x－1≥13－3，又指数函数y＝13x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.(2)要使函数式有意义，需x＋10，lnx＋1≠0，4－x2≥0，即x－1，x≠0，－2≤x≤2，得x∈(－1,0)∪(0,2]．答案(1)C(2)B2．比较大小问题比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．[典例2]若0xy1，则()A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4yD．14x14y解析因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，错误．对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，正确．-4-对于D，函数y＝14x在R上单调递减，故14x14y，错误．答案C[典例3]比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小．解解法一：∵00.3212＝1，log20.3log21＝0,20.320＝1，∴log20.30.3220.3.解法二：作出函数y＝x2，y＝log2x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线x＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log20.30.3220.3.3．与指数、对数函数相关的单调性问题[典例4]是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．解设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在．当a1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上单调递增，故应满足12a≤2，g2＝4a－20，解得a12，∴a1.当0a1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上单调递减，故应满足12a≥4，g4＝16a－40，此不等式组无解．综上可知，存在实数a，使f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上单调递增，a的取值范围是a1.二、函数的图象问题对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象．-5-1．图象的变换[典例5]为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析∵y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－1，∴只需将y＝lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lgx＋310的图象．答案C2．根据函数解析式确定图象[典例6]已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a0，且a≠1)，若f(4)g(4)0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是()解析由f(4)g(4)0知a2·loga40，∴loga40，∴0a1，∴f(x)和g(x)在(0，＋∞)上都单调递减．答案B三、等价转化思想的体现一般来说，小题对指数函数、对数函数的考查，仅限于这两类函数本身的概念、图象与性质．而解答题往往注重考查与这两类函数有关的复合函数的性质．这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这两类函数来处理．-6-[典例7]已知函数f(x)＝13x，当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)．解∵x∈[－1,1]，∴13x∈13，3.∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝132x－2a13x＋3＝13x－a2＋3－a2.令t＝13x，则t∈13，3.若a13，则当t＝13，即x＝1时，ymin＝19－2a3＋3＝289－2a3.若13≤a≤3，则当t＝a，即x＝log13a时，ymin＝3－a2.若a3，则当t＝3，即x＝－1时，ymin＝9－6a＋3＝12－6A．综上可知：g(a)＝289－2a3a13，3－a213≤a≤3，12－6aa3.四、函数零点与方程的解根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有解，有几个解．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．[典例8]关于x的方程x＋lgx＝3，x＋10x＝3的解分别为α，β，则α＋β等于()A．6B．5C．4D．3-7-解析将方程变形为lgx＝3－x和10x＝3－x.令y1＝lgx，y2＝10x，y3＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别作出y1＝lgx，y2＝10x，y3＝3－x的图象，如图所示．这样方程lgx＝3－x的解可以看成函数y1＝lgx和y3＝3－x的图象的交点A的横坐标，方程10x＝3－x的解可以看成函数y2＝10x和y3＝3－x的图象交点B的横坐标．因为函数y1＝lgx和y2＝10x互为反函数，所以y1＝lgx和y2＝10x的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标分别为A(α，β)，B(β，α)．而A，B两点都在直线y＝3－x上，所以β＝3－α，所以α＋β＝3.答案D[典例9]已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．答案x1＜x2＜x3解析令x＋2x＝0，得2x＝－x；令x＋lnx＝0，得lnx＝－x；在同一平面直角坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x的图象，如图可知x1＜0＜x2＜1.令h(x)＝x－x－1＝0，则(x)2－x－1＝0，所以x＝1＋52，即x3＝1＋522＞1.所以-8-x1＜x2＜x3.五、函数模型的应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．[典例10]为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示．(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25cm，则可以灌溉土地多少公顷？解(1)描点、作图，如图甲所示：-9-(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得21.1＝a＋10.4b，45.8＝a＋24.0b，用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷．[典例11]载人飞船是通过火箭发射的．已知某型号火箭的起飞重量Mt是箭体(包括搭载的飞行器)的重量mt和燃料重量xt之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度ykm/s关于x的函数关系为y＝k[ln(m＋x)－ln(2m)]＋4ln2(其中k≠0，lnx是以e为底x的对数)．当燃料重量为(e－1)mt时，该火箭的最大速度为4km/s.(1)求此型号火箭的最大速度ykm/s与燃料重量xt之间的函数解析式；(