2019-2020学年新教材高中数学 课后作业38 弧度制 新人教A版必修第一册

1课后作业(三十八)复习巩固一、选择题1．－10π3转化为角度是()A．－300°B．－600°C．－900°D．－1200°[解析]由于－10π3＝－10π3×180π°＝－600°，所以选B.[答案]B2．与30°角终边相同的角的集合是()A.αα＝k·360°＋π6，k∈ZB.{}α|α＝2kπ＋30°，k∈ZC.{}α|α＝2k·360°＋30°，k∈ZD.αα＝2kπ＋π6，k∈Z[解析]∵与30°角终边相同的角表示为α＝k·360°＋30°，k∈Z，化为弧度为α＝2kπ＋π6，k∈Z，∴选D.[答案]D3．下列说法正确的是()A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同D．－120°的弧度数是2π3[解析]A项中，零角的弧度数为0，故A项错误；B项是正确的；C项中，用角度制和弧度制度量零角时，单位不同，但数量相同(都是0)，故C项错误；－120°对应的弧度数是－2π3，故D项错误．故选B.[答案]B4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()2A．2B．4C．6D．8[解析]设扇形所在圆的半径为R，则2＝12×4×R2，∴R2＝1，∴R＝1.∴扇形的弧长为4×1＝4，扇形的周长为2＋4＝6.故选C.[答案]C5．集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()[解析]当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋π4≤α≤2mπ＋π2，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋5π4≤α≤2mπ＋3π2，m∈Z.故选C.[答案]C二、填空题6．将－1485°表示成2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式是_________．[解析]∵－1485°＝－5×360°＋315°，而315°＝74π，∴应填－10π＋74π.[答案]－10π＋74π7．若扇形的半径为1，圆心角为3弧度，则扇形的面积为________．[解析]由于扇形面积S＝12αr2＝12×3×12＝32，故扇形的面积为32.[答案]328．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________________________．3[解析]设两个角的弧度数分别为x，y.因为1°＝π180rad，所以x＋y＝1x－y＝π180.解得x＝12＋π360y＝12－π360，所以所求两角的弧度数分别为12＋π360，12－π360.[答案]12＋π360，12－π360三、解答题9．已知α＝1690°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．[解](1)1690°＝1440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋2518π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π2kπ＋2518π4π，∴－9736k4736(k∈Z)．∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3.求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．[解](1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3，所以半径r＝1sinπ3＝233，所以这个圆心角所对的弧长l＝233×2π3＝43π9.(2)由(1)得扇形的面积S＝12×233×43π9＝4π9.综合运用411．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．－3π4B．－π4C.π4D.3π4[解析]∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时－3π4＝3π4是最小的．[答案]A12．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于()A．∅B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}[解析]A集合中满足B集合范围的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D选项满足．故选D.[答案]D13．若角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝π6，则在0～4π内满足要求的β＝________.[解析]由角α，β的终边关于直线y＝x对称，及α＝π6，可得β＝－α＋π2＋2kπ＝π3＋2kπ，令k＝0,1可得结果．[答案]π3，7π314．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．[解析]设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α，则现在的圆的半径为3r弧长为l，设弧所对的圆心角为β，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝13α.[答案]13515．如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．[解]设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·π3＋t·－π6＝2π.解得t＝4.所以第一次相遇时所用的时间是4秒．第一次相遇时点P已经运动到角π3·4＝4π3的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为4π3×4＝16π3，点Q走过的弧长为－2π3×4＝2π3×4＝8π3.