2019-2020学年新教材高中数学 课后作业49 两角和与差的正弦、余弦公式 新人教A版必修第一册

1课后作业(四十九)复习巩固一、选择题1．在△ABC中，A＝π4，cosB＝1010，则sinC等于()A.255B．－255C.55D．－55[解析]∵cosB＝1010，∴B为锐角∴sinB＝1－cos2B＝31010.又∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinπ4cosB＋cosπ4sinB＝22×1010＋22×31010＝8520＝255[答案]A2．计算cos(80°＋2α)cos(65°＋2α)＋sin(80°＋2α)sin(65°＋2α)的值为()A.2－64B.32C.6＋24D.12[解析]原式＝cos[(80°＋2α)－(65°＋2α)]＝cos15°＝cos(45°－30°)＝2＋64.[答案]C3.12sin15°－32cos15°的值为()A.22B．－22C.12D．－12[解析]原式＝sin30°·sin15°－cos30°·cos15°＝－(cos30°·cos15°－sin30°·sin15°)2＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－22.[答案]B4．已知sinα＝223，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则sinβ等于()A．－12B.12C．－13D.429[解析]因为sinα＝223，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，所以cosα＝13，sin(α＋β)＝223.sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝429，故选D.[答案]D5．已知cosα－π6＋sinα＝453，则sinα＋7π6的值是()A．－235B.235C．－45D.45[解析]因为cosα－π6＋sinα＝435，所以32cosα＋32sinα＝453，3·12cosα＋32sinα＝453，所以sinα＋π6＝45.所以sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45，故选C.[答案]C二、填空题6．形如()abcd的式子叫做行列式，其运算法则为()abcd＝ad－bc，则行列式cosπ3sinπ6sinπ3cosπ6的值是________．3[解析]cosπ3sinπ6sinπ3cosπ6＝cosπ3cosπ6－sinπ3sinπ6＝cosπ3＋π6＝cosπ2＝0.[答案]07．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tanα·tanβ＝_____.[解析]由cosα＋β＝15，α－β＝35，得cosαcosβ－sinαsinβ＝15cosαcosβ＋sinαsinβ＝35.解得cosα·cosβ＝25sinα·sinβ＝15，所以tanα·tanβ＝sinαsinβcosαcosβ＝12.[答案]128．A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－2425，sinB＋π3＝35，则sinA－π3＝________.[解析]因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－2425，sinB＋π3＝35，所以0A＋Bπ，可得sin(A＋B)＝1－cos2A＋B＝725，cosB＋π3＝－1－sin2B＋π3＝－45，可得sinA－π3＝sinA＋B－B＋π3＝725×－45－－2425×35＝44125.4[答案]44125三、解答题9．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝45，β是第三象限角，求sinβ＋π4的值．[解]∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝45，∴sinβ＝－45，又β是第三象限角，∴cosβ＝－1－sin2β＝－35.∴sinβ＋π4＝sinβcosπ4＋cosβsinπ4＝－45×22＋－35×22＝－7210.10．化简：sinx＋π3＋2sinx－π3－3cos2π3－x.[解]原式＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3－2cosxsinπ3－3cos2π3cosx－3sin2π3sinx＝12sinx＋32cosx＋sinx－3cosx＋32cosx－32sinx＝12＋1－32sinx＋32－3＋32cosx＝0.综合运用11．在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形[解析]∵在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2cosBsinA＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.∴－sinAcosB＋cosAsinB＝0，即sin(B－A)＝0，∴A＝B.故选A.[答案]A512．若3sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是()A．2≤m≤6B．－6≤m≤6C．2m6D．2≤m≤4[解析]∵3sinx＋cosx＝4－m，∴32sinx＋12cosx＝4－m2，∴sinπ3sinx＋cosπ3cosx＝4－m2，∴cosx－π3＝4－m2.∵cosx－π3≤1，∴4－m2≤1，∴2≤m≤6.[答案]A13.sin27°＋cos45°sin18°cos27°－sin45°sin18°＝________.[解析]原式＝sin45°－18°＋cos45°sin18°cos45°－18°－sin45°sin18°＝sin45°cos18°－cos45°sin18°＋cos45°sin18°cos45°cos18°＋sin45°sin18°－cos45°sin18°＝tan45°＝1.[答案]114．已知sinα－cosβ＝12，cosα－sinβ＝13，则sin(α＋β)＝________.[解析]由sinα－cosβ＝12两边平方得sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝14，①由cosα－sinβ＝13两边平方得cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝19，②①＋②得：(sin2α＋cos2α)－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋(cos2β＋sin2β)＝14＋19.∴1－2sin(α＋β)＋1＝1336.∴sin(α＋β)＝5972.[答案]5972615．已知cosα＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈0，π2.求：(1)sin(2α－β)的值；(2)β的值．[解](1)因为α，β∈0，π2，所以α－β∈－π2，π2，又sin(α－β)＝10100，所以0α－βπ2.所以sinα＝1－cos2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sinαcos(α－β)＋cosαsin(α－β)＝255×31010＋55×1010＝71210.(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈0，π2，所以β＝π4.