2019-2020学年高中数学 课时作业9 等比数列的前n项和（第一课时） 北师大版必修5

1课时作业(九)1．等比数列{an}各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是()A．179B．211C．248D．275答案B解析∵a5＝a1q4，∴16＝81q4.∴q＝±23.又数列{an}的各项都是正数，∴q＝23.∴S5＝a1（1－q5）1－q＝81[1－（23）5]1－23＝211.2．在公比为正数的等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则S8等于()A．21B．42C．135D．170答案D解析∵q2＝a3＋a4a1＋a2＝4，又q0，∴q＝2.∴a1(1＋q)＝a1(1＋2)＝2，∴a1＝23.∴S8＝23·（28－1）2－1＝170.3．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为()A．4B．－4C．－2D．2答案A解析∵S5＝a1（1－q5）1－q，∴44＝a1·[1－（－2）5]1＋2＝33a13＝11a1.∴a1＝4.4．在14与78之间插入n个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数()A．4B．5C．6D．72答案B解析∵q≠1(14≠78)，∴Sn＝a1－anq1－q.∴778＝14－78q1－q，解得q＝－12，78＝14×(－12)n＋2－1.∴n＝3.故该数列共5项．5．(2015·山东师大附中月考卷)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于()A．3B．－3C．－1D．1答案A解析思路一：列方程求出首项和公比，过程略；思路二：两等式相减得a4－a3＝2a3，从而求得a4a3＝3＝q.6．(2013·新课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an答案D7．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158答案C解析由题意q3＝S6－S3S3＝8，则q＝2.∴数列{1an}的公比为12，首项为1的等比数列．∴其前5项和T5＝1×（1－125）1－12＝3116，故选C.8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4S2＝3，则2a2－a4的值是3()A．0B．1C．2D．3答案A9．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A．190B．191C．192D．193答案C10．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为S，则数列1an的前n项和为()A.1SB．SC．Sq1－nD．S－1q1－n答案C解析q≠1时，S＝1－qn1－q，{1an}的前n项和为1（1－1qn）1－1q＝q1－n·1－qn1－q＝q1－n·S.当q＝1时，q1－n·S＝S.11．(2015·盐城一中月考)等比数列{an}中，a6－a5＝324，a2－a1＝4，则Sn＝__________．答案3n－1，或（－3）n－14解析∵a6－a5＝(a2－a1)·q4，∴q4＝3244＝81，∴q＝±3.当q＝3时，由a1(q－1)＝a1·(3－1)＝4，得a1＝2.∴Sn＝2（3n－1）3－1＝3n－1.当q＝－3时，由a1·(－3－1)＝4，得a1＝－1.∴Sn＝－1·[（－3）n－1]－3－1＝（－3）n－14.12．设数列{an}是等比数列，公比为3，前80项之和为32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝__________．答案244解析设a2＋a4＋a6＋…＋a80＝X，则a1＋a3＋a5＋…＋a79＝32－X，∵公比为3，∴X32－X＝3，解得X＝24.13．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则q＝____________．答案－12解析∵S10＝S5＋(S10－S5)＝S5(1＋q5)，∴S10S5＝1＋q5＝3132.∴q5＝－132，∴q＝－12.14．(2015·济宁高二检测)在等比数列{an}中，a1a2a3＝27，a2＋a4＝30.(1)求a1和公比q；(2)求前6项的和S6.解析(1)在等比数列{an}中，由已知可得a1·a1q·a1q2＝27，a1q＋a1q3＝30，解得a1＝1，q＝3或a1＝－1，q＝－3.(2)由Sn＝a1（1－qn）1－q，所以当a1＝1，q＝3时，S6＝1×（1－36）1－3＝1－36－2＝364.当a1＝－1，q＝－3时，S6＝（－1）×[1－（－3）6]1＋3＝36－14＝182.15．设等比数列{an}的公比q1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．解析由题设知a1≠0，Sn＝a1（1－qn）1－q，则a1q2＝2，a1（1－q4）1－q＝5×a1（1－q2）1－q，①②由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0.∴(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.因为q1，解得q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①得a1＝2，an＝2×(－1)n－1；5当q＝－2时，代入①得a1＝12，an＝12×(－2)n－1.综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1；当q＝－2时，an＝12×(－2)n－1.16．已知等比数列{an}的公比为q＝－12；(1)若a3＝14，求数列{an}的前n项和．(2)证明：对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．解析(1)由a3＝a1q2＝14及q＝－12，得a1＝1.所以数列{an}的前n项和Sn＝1[1－（－12）n]1－（－12）＝2＋（－12）n－13.(2)对任意k∈N*，2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，由q＝－12，得2q2－q－1＝0.故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.所以，对任意k∈N*，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．