2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解学

14．5.1函数的零点与方程的解1．理解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系．2．会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间．3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．1．函数的零点对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条：(1)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；(2)f(a)·f(b)0.1．给定二次函数y＝x2＋2x－3，其图象如下：2(1)方程x2＋2x－3＝0的解是什么？(2)函数的图象与x轴的交点是什么？(3)方程的解与交点的横坐标有什么关系？(4)通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？[答案](1)－3,1(2)(－3,0)，(1,0)(3)相等(4)在每一个交点附近两侧函数值符号异号2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实数解x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)0.()(4)在[a，b]上函数f(x)是连续并且单调的函数，若f(a)·f(b)0，则函数f(x)有唯一零点．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√题型一求函数的零点【典例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝x2＋4x－12x－2.[思路导引]判断方程f(x)＝0是否有实数解，并求出即可．[解](1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.3(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝x2＋4x－12x－2＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.函数零点的求解要点求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数解，则函数f(x)存在零点，该方程的解就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．[针对训练]1．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2,0C.12D．0[解析]当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x1时，令1＋log2x＝0，得x＝12，此时无解．综上所述，函数零点为0.选D.[答案]D2．若2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，则m＝________.[解析]∵2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，∴f(2)＝0，得4－m＝0，∴m＝4.[答案]4题型二判断函数零点所在的区间【典例2】函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(e，＋∞)[解析]∵f(1)＝－20，f(2)＝ln2－10，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln3－230，∴f(2)·f(3)0，4∴f(x)在(2,3)内有零点．[答案]B判断函数零点所在区间的3个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．[针对训练]3．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34[解析]∵f14＝4e－20，f12＝e－10，∴f14·f120，∴零点在14，12上．[答案]C4．若函数f(x)＝x＋ax(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A．－2B．0C．1D．3[解析]f(x)＝x＋ax(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－10，f(2)＝2－1＝10.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.[答案]A题型三判断函数零点的个数5【典例3】(1)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0(2)求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点个数．[思路导引](1)直接求f(x)＝0的解；(2)利用图象法判断．[解析](1)当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；当x0时，由－2＋lnx＝0，得x＝e2.故函数f(x)有2个零点，选B.(2)令f(x)＝0，得log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．由图可知，两个函数有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．[答案](1)B(2)2个[变式]若本例(1)中的函数改为“f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，x2－3＋lnx，x0，”，则函数的零点个数为()A．3B．2C．1D．0[解析]解法一：当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；当x0时，函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．6在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个解，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．综上，函数f(x)有2个零点．解法二：当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；当x0时，由于f(1)＝ln1＋12－3＝－20，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋10，∴f(1)·f(2)0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．综上，函数f(x)有2个零点．[答案]B判断函数零点个数的3个方法(1)直接法：直接求出函数的零点进行判断．(2)图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题．(3)单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．7[针对训练]5．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是()A．1B．2C．3D．4[解析]∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.故函数f(x)的零点有3个．选C.[答案]C6．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝12x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．[答案]B课堂归纳小结1．函数的零点(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的解，因此判断一个函数是8否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数解，有几个实数解．(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．判断函数y＝f(x)零点的存在性的两个条件(1)函数的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线．(2)由f(a)·f(b)0就可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．但应用时应注意以下问题：①并非函数所有的零点都能用这种方法找到．如y＝x2的零点在x＝0附近就没有这样的区间．只有函数值在零点的左右两侧异号时才能用这种方法．②利用上述结论只能判别函数y＝f(x)在区间(a，b)上零点的存在性，但不能确定其零点的个数.1．函数y＝4x－2的零点是()A．2B．(－2,0)C.12，0D.12[解析]令y＝4x－2＝0，得x＝12.∴函数y＝4x－2的零点为12.[答案]D2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实数解D．方程f(x)＝0可能无实数解[解析]∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．[答案]D3．函数y＝lgx－9x的零点所在的大致区间是()A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)[解析]因为f(9)＝lg9－10，9f(10)＝lg10－910＝1－9100，所以f(9)·f(10)0，所以y＝lgx－9x在区间(9,10)上有零点，故选D.[答案]D4．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．[解析]解法一：由f(x)＝lnx＋3x－2＝0，得lnx＝2－3x，设g(x)＝lnx，h(x)＝2－3x，图象如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)＝lnx＋3x－2有一个零点．解法二：函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，且f1e＝3e－30，f(1)＝10，所以函数f(x)在1e，1内有唯一零点．[答案]15．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？[解]因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－120，f(0)＝20－02＝10，而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．课内拓展课外探究一元二次方程根的分布情况依据函数零点与方程实数根的联系，可以用函数零点的存在性定理及二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根的分布情况．设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且mnp)1011【典例】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两实根，其中一实根在区间(－1,0)内，另一实根在区间(1,2)内，求m的取值范围；(2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围．[解](1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出函数的大致图象如右图所示．由图象得f－1＝20，f0＝2m＋10，f1＝4m＋20，f2