（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题三 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积学案

-1-第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积[做真题]题型一三视图与直观图1．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2解析：选B．由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝25.故选B．2．(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：选A．由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A．3．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，-2-且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则22x＋x＋22x＝1，解得x＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.答案：262－1题型二空间几何体的表面积与体积1．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即12×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O­EFGH＝13×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.82．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与-3-圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.△SAB的面积为12·SA·SB·sin∠ASB＝12·SA2·1－cos2∠ASB＝1516·SA2＝515，所以SA2＝80，SA＝45.因为SA与底面所成的角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝45×22＝210.所以底面周长l＝2π·AS′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π题型三与球有关的切、接问题1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥P­ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．86πB．46πC．26πD．6π解析：选D．因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P­ABC的外接球的半径R＝62，所以球O的体积V＝43πR3＝43π623＝6π，故选D．2．(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为-4-等边三角形且其面积为93，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543解析：选B．设等边三角形ABC的边长为x，则12x2sin60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝6sin60°，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－(23)2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值Vmax＝13S△ABC×6＝13×93×6＝183.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB．3π4C．π2D．π4解析：选B．设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－122＝34，所以，圆柱的体积V＝34π×1＝3π4，故选B．[明考情]1．“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)．2．考查一个小题时，此小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一个小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，此小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．空间几何体的三视图[考法全练]1．(2019·福州市质量检测)棱长为1的正方体木块ABCD­A1B1C1D1的直观图如图所示，平面α过点D且平行于平面ACD1，则该木块在平面α内的正投影面积是()-5-A．3B．323C．2D．1解析：选A．棱长为1的正方体木块ABCD­A1B1C1D1在平面α内的正投影是三个全等的菱形，如图，正投影可以看成两个边长为2的等边三角形，所以木块在平面α内的正投影面积是2×12×2×2×32＝3.2．(2019·福州市第一学期抽测)如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是()解析：选B．由题意，根据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，故选B．3．(2019·江西省五校协作体试题)如图1，在三棱锥D­ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如图2，则其侧视图的面积为()A．6B．2-6-C．3D．2解析：选D．由题意知侧视图为直角三角形，因为正视图的高即几何体的高，所以正视图的高为2，则侧视图的高，即一直角边长也为2.因为俯视图为边长为2的等腰直角三角形，所以侧视图的另一直角边长为2.所以侧视图的面积为2，故选D．4．(2019·江西八所重点中学联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是()A．52B．2C．355D．32解析：选D．在棱长为2的正方体中还原该四面体P­ABC.如图所示，其中最短的棱为AB和BC，最长的棱为PC.因为正方体的棱长为2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为32，故选D．5．(2019·湖南省五市十校联考)某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，俯视图的轮廓是直角梯形，则该四棱锥的各侧面面积的最大值为()-7-A．8B．45C．82D．122解析：选D．由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形，高为4的四棱锥，如图，其中侧棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝25，PD＝6，PB＝42，连接AC，则AC＝42，所以PC＝43，显然在各侧面面积中△PCD的面积最大，又PD＝CD＝6，所以PC边上的高为62－4322＝26，所以S△PCD＝12×43×26＝122，故该四棱锥的各侧面面积的最大值为122，故选D．(1)识别三视图的步骤①应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置．②根据三视图的有关规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图．③被遮住的轮廓线应为虚线．(2)由三视图还原到直观图的思路①根据俯视图确定几何体的底面．②根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．③确定几何体的直观图形状．(3)由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．空间几何体的表面积和体积[典型例题]命题角度一空间几何体的表面积(1)(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()-8-A．20＋23B．18＋23C．18＋3D．20＋3(2)(2019·福建五校第二次联考)已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是()A．39π4＋33B．45π4＋33C．23π2D．49π4【解析】(1)如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，根据三视图，还原几何体的直观图为图中多面体ABCD­A1C1D1，其表面积为S正方形ABCD＋S正方形ADD1A1＋S正方形DCC1D1＋S△ABA1＋S△A1C1D1＋S△BCC1＋S△A1BC1＝4＋4＋4＋2＋2＋2＋34×8＝18＋23，故选B．(2)由三视图知，该几何体为圆锥挖掉14圆台后剩余部分，其表面积S表＝34π×22＋14π×12＋12×34×2π×2×4＋12×14×2π×1×2＋(1＋2)×32×2＝39π4＋33.故选A．【答案】(1)B(2)A-9-求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积．命题角度二空间几何体的体积(1)(2019·武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．23πB．43πC．2πD．25π(2)(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为________．【解析】(1)由三视图知，该几何体是由两个底面半径为1，高为2的圆锥组成的，所以该几何体的体积V＝2×13×12×π×2＝4π3，故选B．(2)把三视图还原成几何体ABC­DEF，如图所示，在AD上取点G，使得AG＝2，连接GE，GF，则把几何体ABC­DEF分割成三棱柱ABC­GEF和三棱锥D­GEF，所以VABC-DEF＝VABC-GEF＋VD-GEF＝43×2＋13×43×2＝3233.-10-【答案】(1)B(2)3233求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积