2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教

15．4.3正切函数的性质与图象1．会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期．2．掌握正切函数y＝tanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性．3．掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．正切函数y＝tanx的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域xx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z值域R周期π奇偶性奇单调性在开区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内都是增函数温馨提示：(1)正切函数在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)内都是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数．(2)正切函数的图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是(kπ，0)，kπ＋π4，1，kπ－π4，－1，k∈Z，两线为直线x＝kπ＋π2和直线x＝kπ－π2，其中k∈Z，这样可以快速地作出正切函数的图象．1．正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋π2，k∈Z有公共点吗？直线y＝a与y＝tanx2的图象相邻两交点之间的距离是多少？[答案]没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数在整个定义域上是增函数．()(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．()(4)正切函数没有对称轴，但有对称中心．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√题型一正切函数的定义域【典例1】求下列函数的定义域：(1)y＝tanx＋π4；(2)y＝1tanx.[思路导引](1)将x＋π4看成一个整体．由正切函数y＝tanx的定义域为x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z求解；(2)tanx≠0且tanx有意义．[解](1)由x＋π4≠kπ＋π2(k∈Z)得，x≠kπ＋π4，k∈Z，所以函数y＝tanx＋π4的定义域为xx≠kπ＋π4，k∈Z.(2)由tanx≠0且tanx有意义得x≠kπ且x≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠kπ2，k∈Z，所以函数y＝1tanx的定义域为x|x≠kπ2，k∈Z.3求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠π2＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋π2，k∈Z，解得x.[针对训练]1．函数f(x)＝1tanx－1的定义域是____________．[解析]若使函数f(x)有意义，需使tanx－1≠0，即tanx≠1.∵tanx有意义，∴x≠kπ＋π2且x≠kπ＋π4，k∈Z，∴f(x)＝1tanx－1的定义域为x|x≠kπ＋π4且x≠kπ＋π2，k∈Z.[答案]{x|x≠kπ＋π4且x≠kπ＋π2，k∈Z}题型二与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【典例2】(1)求f(x)＝tan2x＋π3的周期；(2)判断y＝sinx＋tanx的奇偶性．[思路导引]解(1)利用T＝π|ω|，解(2)时先看定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看f(－x)与f(x)及－f(x)的关系来判断奇偶性．[解](1)由正切函数的最小正周期，可得T＝π2.∴f(x)＝tan2x＋π3的周期是π2.(2)定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z，关于原点对称，∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴它是奇函数．正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期性、奇偶性4(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)若函数y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ或φ＝kπ＋π2(k∈Z)，否则为非奇非偶函数．(3)正切函数是奇函数，所以原点是y＝tanx的对称中心，同样，结合y＝tanx的图象，可以得到kπ2，0k∈Z都是正切函数的对称中心．[针对训练]2．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图象关于π2－φ，0对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．[解析]①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tanx，此时，f(x)为奇函数，所以①错误；观察正切函数y＝tanx的图象，可知y＝tanx关于kπ2，0(k∈Z)对称，令x＋φ＝kπ2得x＝kπ2－φ，分别令k＝1,2知②、③正确，④显然正确．[答案]①题型三正切函数的单调性及应用【典例3】(1)求函数y＝tan12x－π4的单调区间；(2)比较tan－13π4与tan－12π5的大小；(3)解不等式tanx＋π3≤3.[思路导引](1)将12x－π4看成一个整体；(2)比较大小时应将角化到同一个单调区间内；(3)将x＋π3看成一个整体，结合y＝tanx的图象求解．[解](1)由kπ－π212x－π4kπ＋π2(k∈Z)得，2kπ－π2x2kπ＋3π2，k∈Z，5所以函数y＝tan12x－π4的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．(2)由于tan－13π4＝tan－4π＋3π4＝tan3π4＝－tanπ4，tan－12π5＝－tan2π＋2π5＝－tan2π5，又0π42π5π2，而y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tanπ4tan2π5，－tanπ4－tan2π5，即tan－13π4tan－12π5.(3)将x＋π3看成一个整体，由函数y＝tanx的图象可知在－π2，π2上满足tanx≤3的解应满足－π2x≤π3，再结合y＝tanx的周期，得kπ－π2x＋π3≤kπ＋π3，k∈Z，即kπ－56πx≤kπ，k∈Z，所以不等式tanx＋π3≤3的解集为x|kπ－56πx≤kπ，k∈Z.[变式]若本例(1)改为y＝tanπ4－12x，其单调减区间是_______．[解析]∵y＝tanπ4－12x＝－tan12x－π4∴kπ－π212x－π4kπ＋π2，k∈Z，解得2kπ－π2x2kπ＋3π2，k∈Z.故函数的单调递减区间为2kπ－π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．[答案]2kπ－π2，2kπ＋3π2，(k∈Z)6(1)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2ωx＋φkπ＋π2，求得x的范围即可．②若ω0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．(2)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(3)解关于tanx的不等式：先写出这个不等式在一个周期－π2，π2上的解，再结合周期性得出x的解集．[针对训练]3．函数y＝tan12x＋π4的单调增区间为________．[解析]由题意知，kπ－π212x＋π4kπ＋π2，k∈Z，即kπ－3π412xkπ＋π4，k∈Z.所以2kπ－3π2x2kπ＋π2，k∈Z，故单调增区间为2kπ－3π2，2kπ＋π2(k∈Z)．[答案]2kπ－3π2，2kπ＋π2(k∈Z)．4．比较大小：tan65π________tan－137π；[解析]tan65π＝tanπ＋π5＝tanπ5，tan－137π＝－tan137π＝－tan2π－π7＝－tan－π7＝tanπ7，因为－π2π7π5π2，y＝tanx在－π2，π2上单调递增，所以tanπ7tanπ5，即tan65πtan－137π.7[答案]5．不等式tan2x＋π4≥1的解集为______________．[解析]由已知可得kπ＋π4≤2x＋π4kπ－π2，解得kπ2≤xkπ2－3π8，k∈Z，∴不等式tan2x＋π4≥1的解集为x|kπ2≤xkπ2－38π，k∈Z.[答案]x|kπ2≤xkπ2－38π，k∈Z课堂归纳小结1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋π2，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增.2.正切函数的性质(1)正切函数y＝tanx的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z，值域是R.(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝π|ω|.(3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是()A．y＝tanx是增函数B．y＝tanx在第一象限是增函数C．y＝tanx在某一区间上是减函数D．y＝tanx在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数[解析]由正切函数的图象可知D正确．[答案]D82．函数y＝1tanx－1的定义域为()A.kπ＋π4，kπ＋π2，k∈ZB．{x|x≠kπ－π4，k∈Z}C.kπ＋π4，kπ＋π2，k∈ZD.kπ＋π4，kπ＋π2，k∈Z[解析]若使函数y＝1tanx－1有意义，需使tanx－10，即tanx1.结合正切曲线，可得kπ＋π4xkπ＋π2(k∈Z)．所以函数y＝1tanx－1的定义域是kπ＋π4，kπ＋π2(k∈Z)．[答案]D3．函数y＝tanπ2x＋3的最小正周期是()A．4B．4πC．2πD．2[解析]函数y＝tanπ2x＋3的最小正周期T＝ππ2＝2，故选D.[答案]D4．函数y＝tanx＋π5，x∈R且x≠310π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是()A．(0,0)B.π5，0C.45π，0D．(π，0)[解析]∵y＝tanx的对称中心为kπ2，0(k∈Z)∴x＋π5＝kπ2，(k∈Z)∴x＝kπ2－π5(k∈Z)9当k＝2时，x＝45π，∴对称中心为45π，0.[答案]C5．函数y＝tan(π－x)，x∈－π4，π3的值域为________．[解析]y＝tan(π－x)＝－tanx，在－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．[答案](－3，1)课后作业(四十六)复习巩固一、选择题1．函数y＝tanπ4－x的定义域为()A.xx≠π4，x∈RB.xx≠－π4，x∈RC.xx≠kπ＋π4，x∈R，k∈ZD.xx≠kπ＋3π4，x∈R，k∈Z[解析]∵y＝tanπ4－x＝－tanx－π4∴x－π4≠kπ＋π2(k∈Z)即x≠kπ＋3π4，(k∈Z)．[答案]D2．与函数y＝tan2x＋π4的图象不相交的一条直线是()A．x＝π2B．x＝－π2C．x＝π4D．x＝π8[解析]当x＝π8时，2x＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x＝π8与函数的图象不相交．故选D.10[答案]D3．函数y＝tanx1＋cosx()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数[解析]函数的定义域为xx≠k