（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第七章 不等式 1 第1讲 不等关系与不等式教学案

1第七章不等式知识点最新考纲不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质.一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)及其应用.绝对值不等式会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式．了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.第1讲不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b；a－b0⇔ab．2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．3．不等式的一些常用性质(1)有关倒数的性质①ab，ab0⇒1a1b.2②a0b⇒1a1b.③ab0，0cd⇒acbd.④0axb或axb0⇒1b1x1a.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则①bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)．②aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种．()(2)若ab1，则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()(5)同向不等式具有可加性和可乘性．()(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化]1．(必修5P74练习T3改编)若a，b都是实数，则“a－b0”是“a2－b20”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.a－b0⇒ab⇒ab⇒a2b2，但由a2－b20⇒/a－b0.2．(必修5P75A组T2改编)15－2______16－5(填“”“”或“＝”)．解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋26＋5，所以315－216－5.答案：3．(必修5P75B组T1改编)若0ab，且a＋b＝1，则将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为________．解析：令a＝13，b＝23，则2ab＝2×13×23＝49，a2＋b2＝19＋49＝59，故a2ab1259＝a2＋b2b.答案：a2ab12a2＋b2b[易错纠偏](1)乱用不等式的相乘性致错；(2)命题的必要性出错；(3)求范围乱用不等式的加法原理致错．1．若ab0，cd0，则下列结论正确的是()A.ac－bd0B.ac－bd0C.adbcD.adbc解析：选D.因为cd0，所以0－d－c，又0ba，所以－bd－ac，即bdac，又因为cd0，所以bdcdaccd，即bcad.2．设a，b∈R，则“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得a＋b2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab2×1＝2.即“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分条件；反之，若“a＋b3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a＝6，b＝12.所以“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分不必要条件．答案：充分不必要43．若－π2αβπ2，则α－β的取值范围是________．解析：由－π2απ2，－π2－βπ2，αβ，得－πα－β0.答案：(－π，0)用不等式(组)表示不等关系某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两台设备上加工，在A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】设甲、乙两种产品的月产量分别为x，y，则由题意可知x＋2y≤400，2x＋y≤500，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.用不等式(组)表示不等关系(1)分析题中有哪些未知量．(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x或x，y，再用x或x，y来表示其他未知量．(3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．[提醒]在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则40x＋90y≤1000，x≥5，y≥6，x，y∈N*.即4x＋9y≤100，x≥5，y≥6，x，y∈N*.不等式的性质及应用(高频考点)不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选5择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)判断命题的真假；(2)与充要条件相结合命题的判断；(3)求代数式的取值范围．角度一判断命题的真假(1)设a，b，c∈R，且ab，则()A．acbcB.1a1bC．a2b2D．a3b3(2)下列命题中，正确的是()A．若ab，cd，则acbdB．若acbc，则abC．若ac2bc2，则abD．若ab，cd，则a－cb－d【解析】(1)A项，c≤0时，由ab不能得到acbc，故不正确；B项，当a0，b0(如a＝1，b＝－2)时，由ab不能得到1a1b，故不正确；C项，由a2－b2＝(a＋b)(a－b)及ab可知当a＋b0时(如a＝－2，b＝－3或a＝2，b＝－3)均不能得到a2b2，故不正确；D项，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·a＋b22＋34b2，因为a＋b22＋34b20，所以可由ab知a3－b30，即a3b3，故正确．(2)A：取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B：当c0时，acbc⇒ab，所以B错误；C：因为ac2bc2，所以c≠0，又c20，所以ab，C正确；D：取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误，故选C.【答案】(1)D(2)C角度二与充要条件相结合命题的判断(1)设a，b∈R，则“(a－b)·a20”是“ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设a，b∈R，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件6C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】(1)(a－b)·a20，则必有a－b0，即ab；而ab时，不能推出(a－b)·a20，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a20”是“ab”的充分不必要条件．(2)当b0时，显然有ab⇔a|a|b|b|；当b＝0时，显然有ab⇔a|a|b|b|；当b0时，由ab有|a||b|，所以ab⇔a|a|b|b|.综上可知ab⇔a|a|b|b|，故选C.【答案】(1)A(2)C角度三求代数式的取值范围(2020·台州高三模拟)若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．【解析】设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.则x＋y＝1，x＋2y＝3，解得x＝－1，y＝2.因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.所以α＋3β的取值范围是[1，7]．【答案】[1，7](1)判断不等式命题真假的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．(2)充要条件的判断方法利用两命题间的关系，看p能否推出q，再看q能否推出p，充分利用不等式性质或特值求解．(3)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．7已知△ABC的三边长a，b，c满足b＋c≤2a，c＋a≤2b，则ba的取值范围是________．解析：因为b＋c≤2a，c＋a≤2b，c＞a－b，c＞b－a，所以问题等价于不等式组a－b＜c，b－a＜c，c≤2a－b，c≤2b－a有解，所以a－b＜2a－b，a－b＜2b－a，b－a＜2a－b，b－a＜2b－a⇒23＜ba＜32，即ba的取值范围是23，32.答案：23，32比较两个数(式)的大小(1)设函数f(x)＝x3＋11＋x，x∈[0，1]．证明：f(x)≥1－x＋x2；(2)若a＝ln33，b＝ln22，比较a与b的大小．【解】(1)证明：因为1－x＋x2－x3＝1－（－x）41－（－x）＝1－x41＋x，由于x∈[0，1]，有1－x41＋x≤1x＋1，即1－x＋x2－x3≤1x＋1，所以f(x)≥1－x＋x2.(2)因为a＝ln33＞0，b＝ln22＞0，所以ab＝ln33·2ln2＝2ln33ln2＝ln9ln8＝log89＞1，所以a＞b.81．设m＝(x＋2)(x＋3)，n＝2x2＋5x＋9，则m与n的大小关系为()A．mnB．mnC．m≥nD．m≤n解析：选B.m－n＝x2＋5x＋6－(2x2＋5x＋9)＝－x2－30，所以mn.故选B.2．比较a2b＋b2a与a＋b(a0，b0)两个代数式的大小．解：因为a2b＋b2a－(a＋b)＝a3＋b3－a2b－ab2ab＝a2（a－b）＋b2（b－a）ab＝（a－b）（a2－b2）ab＝（a－b）2（a＋b）ab.又因为a0，b0，所以（a－b）2（a＋b）ab≥0，故a2b＋b2a≥a＋b.[基础题组练]1．(2020·嘉兴期中)若x＞y，m＞n，下列不等式正确的是()A．m－y＞n－xB．xm＞ynC.xn＞ymD．x－m＞y－n解析：选A.对于B，x＝1，y＝－2，m＝－1，n＝－2时不成立，对于C，x＝1，y＝－2，m＝－1，n＝－2时不成立，因为x＞y，m＞n，所以x＋m＞y＋n，所以m－y＞n－x.A正确，易知D不成立，故选A.2．(2020·义乌质检)设α∈0，π2，β∈0，π2，那么2α－β3的取值范围是()A.0，5π6B.－π6，5π6C．(0，π)D.－π6，π解析：选D.由题设得02απ，0≤β3≤π6，9所以－π6≤－β3≤0，所以－π62α－β3π.3．设实数x，y满足0＜xy＜1且0＜x＋y＜1＋xy，那么x，y的取值范围是()A．x＞1且y＞1B．0＜x＜1且y＜1C．0＜x＜1且0＜y＜1D．x＞1且0＜y＜1解析：选C.xy＞0，x＋y＞0⇒x＞0，y＞0.又x＋y＜1＋xy，所以1＋xy－x－y＞0