三角形中角度计算相关的模型

努力的你，未来可期!三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。下面一一推导证明。努力的你，未来可期!模型一：8字模型条件：AD、BC相交于点O。结论：∠A+∠B=∠C+∠D。(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°努力的你，未来可期!模型二：飞镖模型条件：四边形ABDC如上左图所示。结论：∠D=∠A+∠B+∠C。(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。本质为两个三角形外角和定理证明。应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。努力的你，未来可期!模型三：两内角角平分线模型条件：△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I。结论：AI2190证明：∵BI是∠ABC平分线，∴ABC212∵CI是∠ACB平分线，∴ACB213由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：∠I=∠A+∠2+∠3=∠A+ABC21+ACB21=∠A+)180(21A=A2190.应用：如上图，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I。(1)若∠A=60°，则∠I=120°(2)若∠I=110°，则∠A=40°(3)若∠A=α，则∠I=2190。努力的你，未来可期!模型四：两外角角平分线模型条件：△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O。结论：AO2190证明：∵BO是∠EBC平分线，∴EBC212∵CO是∠FCB平分线，∴FCB215由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°-EBC21-FCB21=180°-)180(21ABC-)180(21ACB=)(21ACBABC=)180(21A=AO2190应用：如上图，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的外角角平分线，且相交于点O。(1)若∠A=60°，则∠O=60°努力的你，未来可期!(2)若∠O=70°，则∠A=40°(3)若∠A=α，则∠O=2190。模型五：内外角角平分线模型条件：△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P。结论：AP21证明：∵BP是∠ABC平分线，∴ABC213∵CP是∠ACE平分线，∴ACE211由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A……①对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+A21……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P……③比较②③式子可知：AP21。应用：如上图，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的外角角平分线，且相交于点P。努力的你，未来可期!(1)若∠A=60°，则∠O=30°(2)若∠O=70°，则∠A=140°(3)若∠A=α，则∠O=21模型六：共顶点角平分线与高线夹角模型条件：△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线。结论：)(21CBHAD(共顶点的高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半)证明：∵AD是∠ABC平分线，∴BACDAC21在△AHD中：∠HAD=90°-∠1=90°-(∠C+∠DAC)=90°-(∠C+BAC21)=90°-[∠C+)180(21CB]=)(21CB努力的你，未来可期!应用：如上图，△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线。(1)若∠C=30°，∠B=60°，则∠HAD=15°。(2)若∠HAD=15°，∠C=25°，则∠B=55°。(3)若∠B=α，∠C=β，则∠HAD=)(21。三角形中角度模型汇总名称图形结论八字模型∠A+∠B=∠C+∠D飞镖模型∠D=∠A+∠B+∠C努力的你，未来可期!两内角角平分线模型AI2190两外角角平分线模型AO2190内外角角平分线模型AP21共顶点角平分线和中线模型)(21CBHAD【课后演练】1、如下图，∠A=30°，∠B=45°，∠C=50°，则∠D=___25°___努力的你，未来可期!2、如图，∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°，则∠ADC=__100°____3、如图，∠A+∠B+∠C+∠D=___230°___4、如图，△ABC的内角角平分线相交于点O，若∠O=110°，则∠A=__40°___5、如图，△ABC的内角角平分线交于点P，△ABC的外角角平分线交于点Q，∠P=130°，则∠A=__80°__，∠Q=___50°_。努力的你，未来可期!6、在△ABC中，∠A=n°，∠ABC和∠ACD的平分线交于A1，得∠A1=__n21__，∠A1BC和∠A1CD的角平分线交于A2，得A2=__n41_，∠A2020BC和∠A2020CD的角平分线交于A2021，则∠A2020=___n202021___7、已知△ABC中，∠A=30°(1)如图，∠ABC、∠ACB角平分线交于O，则∠BOC=_____105°__；努力的你，未来可期!(2)如图，∠ABC、∠ACB三等分线交于点O1和O2，∠BO2C=_____80°___；(3)如图，∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2....、On-1，请求出∠BOn-1C的度数(用n的代数式表示)n15030