广东省佛山市2016届高考数学一模试卷 理(含解析)

2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）A．0B．1C．D．22．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=NB．M∩（∁UN）=∅C．M∪N=UD．M⊆（∁UN）3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20B．35C．45D．555．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A．+1B．2C．D．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3B．4C．5D．610．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π11．给出下列函数：①f（x）=xsinx；②f（x）=ex+x；③f（x）=ln（﹣x）；∃a＞0，使f（x）dx=0的函数是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（﹣）5的展开式的常数项为（用数字作答）．14．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c﹣b，△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=3Sn﹣2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．18．未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：μm）．（Ⅰ）计算平均值μ与标准差σ；（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．20．已知椭圆：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．21．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=﹣alnx．（1）当a=λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x0，当x＞x0时，f（x）＞0．选修4-1：几何证明选讲22．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC（Ⅰ）求证：PD=2AB；（Ⅱ）当BC=2，PC=5时．求AB的长．选修4-4：坐标系与参数方程选讲23．已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．选修4-5：不等式选讲24．己知函数f（x）=|x﹣2|+a，g（x）=|x+4|，其中a∈R．（Ⅰ）解不等式f（x）＜g（x）+a；（Ⅱ）任意x∈R，f（x）+g（x）＞a2恒成立，求a的取值范围．2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足z（l﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=（）A．0B．1C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：∵z（l﹣i）=﹣1﹣i，∴z（1﹣i）（1+i）=﹣（1+i）2，∴2z=﹣2i，∴z=﹣i，∴z+1=1﹣i，则|z+1|=，故选：C．【点评】本题考查了复数的化简与模的计算．2．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=NB．M∩（∁UN）=∅C．M∪N=UD．M⊆（∁UN）【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；综合法；集合．【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数y=ln（1﹣x）的定义域为M=（﹣∞，1），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N={x|x2﹣x＜0}=（0，1），∴M∩N=N，故选：A．【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．3．已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，而＞，如a=1，b=0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20B．35C．45D．55【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数z=2x+3y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．5．己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），故选：B．【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．6．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A．+1B．2C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，由此能求出双曲线C的离心率．【解答】解：如图，∵∠F1PF2=90°，且满足2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∠F1PF2=90°，∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，∴2a=，2c=2x，∴双曲线C的离心率e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．7．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意事件概率加法公式的合理运用．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．9．执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】程序框图．【专题】操作型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量a值，并输出满足条件的累乘积关于2的对数