专题26 与三角函数有关的应用题(解析版)

专题26与三角函数有关的应用题题型一、与正余弦定理有关的应用题运用正余弦定理有关的应用题的解题关键就是在图形中选择条件尽量多的三角形,也要注意合理的设角,设角的原则就是更容易表示其它的角,然后运用正余弦定理解决.例1、(2017南通学情调研)如图2,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.【答案】507【解析】依题意得OD=100米,CD=150米,连接OC,易知∠ODC=180°∠AOB=60°,因此由余弦定理有OC2=OD2+CD22OD·CD·cos∠ODC,即OC2=10000+225002×100×150×21∴OC2=17500,∴OC=50(米).例2、(2019南京、盐城二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案：如图,在圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形OAB区域,其中两个端点A,B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域,其中AP＝AB＝BQ,∠PAB＝∠QBA＝120°,且AB,PQ在点O的同侧,为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α,α∈0，π3.问：对于任意α,上述设计方案是否均能符合要求？规范解答过O作OH垂直于AB,垂足为H.在Rt△OHA中,OA＝20,∠OAH＝α,所以AH＝20cosα,因此AB＝2AH＝40cosα.(4分)由图可知,点P处观众离点O处最远．(5分)在△OAP中,由余弦定理可知OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cosα＋2π3(7分)＝400＋(40cosα)2－2·20·40cosα·(－12cosα－32sinα)＝400(6cos2α＋23sinαcosα＋1)＝400(3cos2α＋3sin2α＋4)＝8003sin2α＋π3＋1600.(10分)因为α∈0，π3,所以当2α＝π6时,即α＝π12时,(OP2)max＝8003＋1600,即(OP)max＝203＋20.(12分)因为203＋2060,所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米,(13分)答：对于任意α,上述设计方案均能符合要求．(14分)例3、(2019泰州期末)如图,三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上,点Q是弧AB︵的中点．现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O,Q重合),为小区铺设三条地下电缆管线PO,PA,PB.已知OA＝2千米,∠AOB＝π3.记∠APQ＝θrad,地下电缆管线的总长度为y千米．(1)将y表示为θ的函数,并写出θ的范围；(2)请确定工作坑P的位置,使地下电缆管线的总长度最小．思路分析(1)在△OAP中,运用正弦定理用θ表示出PA和OP,从而得到y关于θ的函数,再根据∠AOQ∠APQπ－∠OQA确定θ的范围,也就是函数的定义域．(2)运用导数法,求得函数最小值．规范解答(1)因为点Q是弧AB的中点,所以∠AOP＝π6,PA＝PB,因为∠APQ＝θ,所以∠APO＝π－θ,∠PAO＝θ－π6,在△OPA中,由正弦定理,得PAsinπ6＝OAsin（π－θ）＝OPsinθ－π6,即PA12＝2sin（π－θ）＝OPsinθ－π6,所以PA＝1sinθ,OP＝2sinθ－π6sinθ,(4分)所以y＝PO＋PA＋PB＝2sinθ－π6sinθ＋1sinθ＋1sinθ＝2－cosθsinθ＋3,θ∈π6，7π12.(7分)(2)因为y＝2－cosθsinθ＋3,θ∈π6，7π12,所以y′＝1－2cosθsin2θ,令y′＝0,得θ＝π3,(10分)当θ∈π6，π3时,y′0,当θ∈π3，7π12时,y′0,所以当θ＝π3时,y有极小值,且是最小值,此时OP＝2sinπ6sinπ3＝233.(13分)答：(1)y＝2－cosθsinθ＋3,θ∈π6，7π12.(2)当OP为233千米时,地下电缆管线的总长度最小．(14分)题型二、几何体中三角问题有关的应用题几何体中三角问题有关的应用题往往与几何体的面积、体积等有关,关键就是构造恰当的直角三角形,然后设角,表示其它的量.运三角函数表示函数的解析式.例4、(2019苏州三市、苏北四市二调)一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H,M.已知HM＝5m,BC＝10m,梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θ0θπ4.(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k为正的常数),下部主体造价与其高度成正比,比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅,试问：当θ为何值时,总造价最低？,②)思路分析(1)先通过线面垂直得到FH⊥HM,放在Rt△FHM中,求出FM,根据三角形的面积公式求出△FBC的面积,根据已知条件就可以得到所求S关于θ的函数关系式．(2)先求出主体高度,进而建立出别墅总造价y关于θ的函数关系式,再通过导数法求函数的最小值．(1)规范解答由题意FH⊥平面ABCD,FM⊥BC,又因为HM⊂平面ABCD,得FH⊥HM.(2分)在Rt△FHM中,HM＝5,∠FMH＝θ,所以FM＝5cosθ.(4分)因此△FBC的面积为12×10×5cosθ＝25cosθ.从而屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×25cosθ＋2×25cosθ×2.2＝160cosθ.所以S关于θ的函数关系式为S＝160cosθ0θπ4.(6分)(2)在Rt△FHM中,FH＝5tanθ,所以主体高度为h＝6－5tanθ.(8分)所以别墅总造价为y＝S·k＋h·16k＝160cosθk－80sinθcosθk＋96k＝80k·2－sinθcosθ＋96k.(10分)记f(θ)＝2－sinθcosθ,0θπ4,所以f′(θ)＝2sinθ－1cos2θ,令f′(θ)＝0,得sinθ＝12,又0θπ4,所以θ＝π6.(12分)列表：θ0，π6π6π6，π4f′(θ)－0＋f(θ)3所以当θ＝π6时,f(θ)有最小值．答：当θ为π6时,该别墅总造价最低．(14分)题型三、几何图形中的三角问题有关的应用题寻找直角三角形,通过直角三角形把其它的量表示出来,进而表示出函数的解析式.例5、(2019苏州期初调查)如图,有一块半圆形的空地,政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD及矩形的停车场EFGH,剩余的地方进行绿化．其中半圆的圆心为O,半径为r,矩形的一边AB在直径上,点C,D,G,H在圆周上,E,F在边CD上,且∠BOG＝60°,设∠BOC＝θ.(1)记市民活动广场及停车场的占地总面积为f(θ),求f(θ)的表达式；(2)当cosθ为何值时,可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大．规范解答(1)因为半圆的半径为r,∠BOC＝θ,∠OBC＝90°.所以在Rt△OBC中,OB＝rcosθ,BC＝rsinθ,所以AB＝2rcosθ.所以S矩形ABCD＝AB·BC＝2r2sinθcosθ.(2分)又因为∠BOG＝60°,由半圆的对称性可知,∠HOA＝60°,所以∠HOG＝60°.所以△HOG为等边三角形,所以HG＝EF＝r,HE＝32r－rsinθ＝32－sinθr.所以S矩形EFGH＝EF·EH＝32－sinθr2.(4分)所以f(θ)＝S矩形ABCD＋S矩形EFGH＝(2sinθcosθ－sinθ＋32)r2,其中θ∈0，π3.(7分)(2)因为f′(θ)＝r2(2cos2θ－2sin2θ－cosθ)＝r2(4cos2θ－cosθ－2)．(9分)令f′(θ)＝0,即4cos2θ－cosθ－2＝0,解得cosθ＝1＋338或cosθ＝1－338(舍去)．(11分)令cosθ0＝1＋338,θ0∈0，π3.1°当θ∈(0,θ0)时,f′(θ)0,f(θ)单调递增；2°当θ∈θ0，π3时,f′(θ)0,f(θ)单调递减．所以当θ＝θ0时,f(θ)取得最大值．(13分)答：当cosθ＝1＋338时,可使市民活动广场和停车场的面积总和最大．(14分)例6、(2019通州、海门、启东期末)如图,某公园内有一块矩形绿地区域ABCD,已知AB＝100米,BC＝80米,以AD,BC为直径的两个半圆内种花草,其它区域种植苗木．现决定在绿地区域内修建由直路BN,MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路,其中直路MN与绿地区域边界AB平行,直路为水泥路面,其工程造价为每米2a元,弧形路为鹅卵石路面,其工程造价为每米3a元,修建的总造价为W元,设∠NBC＝θ0θπ2.(1)求W关于θ的函数关系式；(2)如何修建道路,可使修建的总造价最少？并求最少总造价．思路分析第1问,注意到成本与线路的长度有关,因此,本题的本质就是将线段BN,MN以及弧DM表示为θ的函数,BN可以在直角三角形内求得,MN可以用AB减去2倍的点N到BC的距离,难点在于求弧DM的长,注意到图形的对称性,可知弧DM所对的圆心角为2θ,从而根据弧长公式求得．第2问,注意到所求的函数中即有θ三角函数形式,又有θ的一次形式,因此,应用导数求它的最值．(1)连NC,AM,设AD的中点为O,连结MQ,过N作EN⊥BC,垂足为E.由BC为直径知,∠BNC＝90°,又BC＝80米,∠NBC＝θ,所以BN＝80cosθ米,NE＝BNsinθ＝80sinθcosθ,因为MN∥AB,AB＝100米,所以MN＝AB－2NE＝100－160sinθcosθ米,由于∠DOM＝2∠MAD＝2θ,OM＝40米．所以DM︵＝40×20＝800米,(4分)因为直路的工程造价为每米2a元,弧形路的工程造价为每米3a元,所以总造价为W＝2a(BN＋MN)＋3aDM︵＝2a(80cosθ＋100－160sinθcosθ)＋3a·80θ＝40a(4cosθ－8sinθcos＋6θ＋5)＝40a(4cosθ－4sin2θ＋6θ＋5)0＜θ＜π2.(8分)所以W关于θ的函数关系式为W＝40a(4cosθ－8sinθcosθ＋6θ＋5)0θπ2.(2)设f(θ)＝4cosθ－8sinθcosθ＋6θ＋5,0θπ2.则f′(θ)＝－4sinθ－8cos2θ＋8sin2θ＋6＝16sin2θ－4sinθ－2＝2(4sin＋1)(2sinθ－1)(10分)令f′(θ)＝0,得θ＝π6,列表如下：θ0，π6π6π6，π2f′(θ)－0＋f(θ)极小值fπ6所以,当θ＝π6时,f(θ)取得最小值．(14分)此时,总造价W最少,最少总造价为(200＋40π)a元．答：(1)W关于θ的函数关系式为W＝40a(4cosθ－8sinθcosθ＋60＋5)0θπ2；(2)当θ＝π6时,修建的总造价最少,最少总造价为(200＋40π)a元．(16分)例7、(2017年盐城模拟)在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC,及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)．看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE中,CD＝10米；三角形水域ABC的面积为4003平方米．设∠BAC＝θ．(1)求BC的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价．解析：(1)因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,所以AB