电网络分析理论第一章网络理论基础3精简版

§1-8网络图论的基本知识1网络(电路)的图（线图Graph）主要复习:节点、支路、路径、回路、树、割集P43-P47）众所周知，电路（网络）的约束分成两类，一为元件约束，一为结构约束。结构约束是电路的连接结构对电网络中的电压和电流的制约关系（KCL，KVL）,它与元件的性质无关。因此就用抽象的点来代替原来的节点。用线段来代替原来的支路，这样得到的一个由节点和支路组成的图，称为电路的图。既如此，讨论这部分关系时，就没有必要把元件画出。下面复习网络图论的一些术语。图(Graph)图是拓扑（Topology,TopologicalGraph）图的简称，是节点和支路的一个集合。::未赋以方向的图称为无向图。只有部分支路赋以方向的图称为混合图。所有支路都赋以方向的图称为有向图。图中的方向表示原电路中支路电压和电流的关联参考方向::图并不反映支路之间的耦合关系。二端元件的图三端元件的图双口元件的图1321i2i213－＋－＋1u1i2u2i12•元件的图•网络的图网络拓扑i1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象i=0连接性质电路图抽象图R2CLuSR1抽象抽象无向图有向图(1)图的基本概念(名词和定义)1）图G={支路，节点}连通图图不(非)连通图是节点和支路的一个集合2）连通图如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一条路径，则G称为连通图(ConnectedGraph)，否则称为非连通图。3）有向图未赋以方向的图称为无向图。只有部分支路赋以方向的图称为混合图。所有支路都赋以方向的图称为有向图。由电路中的多口元件造成的非连通图，可以把不连通的各部分中的任一节点(一部分只能取一个节点)之间假设有一条短路线相连。把这些假设短路线连接的节点合并成一个节点，这样所得的图称为铰链图(HingedGraph)。铰链图+-+-抽象连通图抽象不连通图①②１不含自环允许孤立节点存在4）子图如果图G1中的每个节点和每条支路都是G图中的一部分，则称G1为G的子图(Subgraph)。GG1G2(5)路径（简称路）从图的某一个节点出发，沿着一些支路连续移动到达另一个节点，这样的一系列支路称为图的一条路径。一般出发的节点称为始节点，到达的节点称为终节点。支路和节点只过一次。(6)回路1)连通；2)每个节点关联支路数恰好为2。12345678253127589回路不是回路回路L是连通图G的一个子图。具有下述性质(7)树(Tree)树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：1)连通；2)包含G的所有节点；3)不包含回路。树是联接连通图全部节点的最少支路集合。•余树或补树：G中对应树T的余子图称为余树或补树(Cotree).图中虚线支路为树163452163452163452树不唯一树支(TreeBranchorTwig)：属于树的支路连支(ChordorLink)：属于G而不属于T的支路16个对于一个选定的树树支数bt=n-1连支数bl=b-(n-1)单连支回路（基本回路）1234567145树支数4连支数3单连支回路独立回路单连支回路独立回路（8）割集•与广义节点（闭合面）的概念相关联。是被闭合面所切割的支路集合。•是把一个连通图恰好分成两部分的最少支路集合。因此与节点有关的关系对割集也成立。1)把Q中全部支路移去，将图恰好分成两个分离部分；2)保留Q中的一条支路，其余支路都移去，G还是连通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1{2,5,4,6}割集Q是连通图G中的一个支路集合，具有下述性质：①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q4{1,5,2}Q3{1,5,4}Q2{2,3,6}•单树支割集（基本割集）①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q3{1,5,3,6}Q2{3,5,4}Q1{2,3,6}①4321②④③56Q4{1,5,2}①4321②④③56Q3{1,5,3,6}单树支割集独立割集单树支割集独立割集割集概念的解释（续）1234{1，2，3，4}割集三个分离部分1234{1，2，3，4}割集4保留4支路，图不连通的。§1-9图的矩阵表示及其性质有向图拓扑性质的描述（1）关联矩阵(IncidenceMatrix)（2）回路矩阵(LoopMatrix)（3）割集矩阵(CutsetMatrix)（4）连通图的主要关联矩阵的关系(1)关联矩阵A•节点支路关联矩阵Aa，有称为全阶点关联矩阵（或增广关联矩阵）。其中行：对应节点；列：对应支路，流出为正，流入为负，无关为零。•Aa中任意去掉一行剩下的行线性无关，去掉行对应的节点就做参考节点（简称参考点）。称为降阶关联矩阵。简称关联矩阵，记为A，（AI=0对应独立的n-1个独立的KCL方程），A的秩为（N-1），Rank（Aa）=Rank（A）=n-1。用矩阵形式描述节点和支路的关联性质aijaij=1有向支路j背离i节点aij=-1有向支路j指向i节点aij=0i节点与j支路无关关联矩阵Aa={aij}nb节点数支路数A={aij}nb节点数支路数645321①②④③Aa=1234123456支节100-101-1-1001001100-100-11-10Aa=1234123456支节1-1000-110001-1-1001010-110-10设④为参考节点-1-10010A=123123456支节100-10101100-1称A为（降阶）关联矩阵(n-1)b，简称关联矩阵；表征独立节点与支路的关联（连接）性质。(降阶)关联矩阵A若把Aa中的任一行划去(相当于相应的节点选作参考点)，剩下的(n－1)×b矩阵足以表征有向图中支路与节点的关联关系，并且(n－1)行是线性无关的。这种(n－1)×b阶矩阵称为降阶(Reduced)关联矩阵，简称关联矩阵。关联矩阵A的任何阶方子矩阵A0，detA0为0、1或－1。幺模矩阵(UnimodularMatrix)一个矩阵如果它的每个方子矩阵的行列式值均为＋1、－1或0，则称该矩阵为单模矩阵或幺模矩阵。对n个节点的连通图G，G的关联矩阵A的一个(n－1)阶子方阵非奇异的充分必要条件是此子方阵的列对应图G的一个树的树支。有关的定理tAdet1tAtA::一个树的关联矩阵是非奇异的，且::大子矩阵(MajorSubmatrix)::At为大子矩阵。一个秩为n的n×m矩阵的大子矩阵定义为该矩阵阶数为n的非奇异子矩阵。树的数目的计算方法::比内—柯西(Binet-Cauchy)定理设矩阵B为m×n阶矩阵，C是n×m阶矩阵，且m＜n，则det(BC)＝的对应大子式的乘积所有大子式与CB树的数目的计算方法)det(TAA结论：设图G是连通的，其关联矩阵为A，则全部树的数目为。即22)1()det(非零大子式）的（树的数目全部非零大子式AAAT22)1(±非零大子式）的（全部非零大子式A)det(树的数目AAT设:645321①②④③-1-10010A=123123456支节100-10101100-1654321uuuuuuu支路电压654321iiiiiii支路电流321nnnnuuuu节点电压矩阵形式的KCLAi=0632521641iiiiiiiii-1-10010100-10101100-1654321iiiiii645321①②④③Ai=0矩阵形式KVL312133221nnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuu654321321101010001100110011nnnuuuuunTA645321①②④③（2）基本回路矩阵B2.支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。1支路j与回路i关联，方向一致-1支路j与回路i关联，方向相反0支路j不在回路i中bij=1２３６５４约定：1.回路电流的参考方向取连支电流方向。用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质B={bij}lb基本回路数支路数1２３６５４选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。123B=456123支回1-101001-11010=[Bt1]设Tiiiiiii][][321654矩阵形式的KVLTltuuuuuuuuu][][32165401-1001BtBlBu=0Bu=0可写成0]1B[lttuuBtut+ul=0ul=-Btut654321uuuuuuuutl用树支电压表示连支电压连支电压树支电压矩阵形式的KVL的另一种形式321100110010111001011iii3216543213232121iiiiiiiiiiiiiiii1２３６５４B=[Bt1]1BBTTtltltiii1BTlttiiTB用连支电流表示树支电流BTil=i矩阵形式的KCLKCL的另一种形式（3）基本割集矩阵Q约定(1)割集方向与树支方向相同。(2)支路排列顺序先树(连)支,后连(树)支。qij=1j支路与割集i方向一致-1j支路与割集i方向相反0j支路不在割集i中1２３６５４用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质Q={qij}n-1b基本割集数支路数Q=456123支割集C1C2C3100-1-1001011-1C1:{1,2,4}C2:{1,2,3,5}C3:{2,3,6}设T321654][][iiiiiiiut=[u4u5u6]T矩阵形式的KCL1２３６５４0010-11QlQtQi=00]Q1[ltliilltiiQ回路矩阵表示时lTttiiBTBQtl用连支电流表示树支电流矩阵形式的KCL的另一种形式Qi=0可写成ltltii]QQ[回路矩阵和割集矩阵的关系3216546565454654654110100111010011001uuuuuuuuuuuuuuuuuuutltltuuuuuTTQ1Q][tlluuTQ1２３６５４矩阵形式的KVL用树支电压表示连支电压QTut=uKVL的另一种形式参考节点p1p3p21２３145④③①⑤⑥②p51）道路矩阵P的构造(4）树的道路（路径）矩阵P•右图是某图的一个树，所谓道路是指对一个选定的树，从任意节点到参考节点的路径；所谓道路矩阵是指表征各树支与路径(节点)的关联关系的矩阵。后面的分析将会看到，道路（路径）矩阵P的引入会大大简化各关联矩阵的生成。参考节点p1p3p21２３145④③①⑤⑥②p5•若规定各道路的选号与路的起始节点选号一致，终点是参考点。则第k条路Pk起始节点就是节点k，路的方向从始节点指向参考节点。上不在，上，反在，上，同在，jitjitjitijPbPbPbP011）（）（11][nnijPP则：道路矩阵它的行对应树支，列对应路径。1000000100001101101100001⑤④③②①tA100001111101000011000000154321P参考节点p4p1p3p21２３145④③①⑤⑥②p5p2p1p3p4p5按上述规定写出Pb2b1b3b4b5PAPAtt1tAP下面给出证明