工程数学复变函数积分变换场论

第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分第一节复变函数积分的概念第二节柯西----古萨基本定理第三节原函数与不定积分第四节柯西积分公式第五节解析函数与调和函数的关系第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--22--第一节复变函数积分的概念一复变函数积分的定义二积分存在的条件及其计算法三积分的性质第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--33--设C是复平面一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选定C的两个可能的方向中的一个作为正方向(或正向)，那么我们可以将C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线，如果C是一条以A与B为端点的有向曲线，如果从A到B为C的正向，则称从B到A方向为正向的有向曲线称为C反向曲线，记为。C除特别声明外，有向曲线C的正向总是指起点到终点的方向，对一简单闭曲线总是指逆时针方向。一复变函数积分的定义第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--44--定义设函数)(zfw在区域D有定义，C为内一条以DA为起点B为终点的光滑的有向曲线，如果将曲线C从起点到终点依次任意分成n个小弧段，BzzzzzzAnkk,,,,,,,1210分点为在每个小弧段kkzz1任取一点,k作和式nknkkkkkkzfzzf111)())((记ks为小弧段kkzz1小的弧长，,}{max1knks趋向于零时，当如果对C的无论怎样分法及k在小弧段上的无论怎样取法，和式有唯一的极限，则称第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--55--极限值为函数)(zf在C上的积分，记作。Cdzzf)(即)1.1.3()(lim)(10nkkkCzfdzzf如果C是闭曲线，则我们将沿闭曲线的积分记为：()Cfzdz第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--66--上连续，如果函数),(),()(yxivyxuzf在区域D即),(),(yxvyxu、为D上的连续函数。设kkki设光滑曲线C是由方程：]),]([,[)()()(ttiytxtzz确定，其正向是从起点AB到终点的方向，其中为起点A参数，是终点B的参数，0)()()(tyitxtz且由于kkkkkkkkyixyyixxzzz)(111二积分存在的条件及其计算法第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--77--所以nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf110]),(),([]),(),([)(由线积分存在定理得，当0上面的两个和式的极限都是存在的，且有)2.1.3()(CCCudyvdxivdyudxdzzf)2.1.3(表明：1）当)(zf是连续函数，C是光滑曲线，则Cdzzf)(一定存在；第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--88--2）计算复函数的积分可以转化为计算两个平面上对坐标的曲线积分。根据对坐标的曲线积分的计算法，有dttytytxvtxtytxudyyxvdxyxuC)]())(),(()())(),(([),(),(dttytytxutxtytxvdyyxudxyxvC)]())(),(()())(),(([),(),(因此)3.1.3()())(()(Cdttztzfdzzf第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--99--如果C是分段光滑的有向曲线，即C是由几段光滑的有向曲线mCCC,,,21依次首尾相接而构成的，则我们规定：)4.1.3()()(1mkCCkdzzfdzzf例11）从原点O沿曲线ittz2到点;1i2）从原点O沿曲线ittz2到点;1i3）从原点O沿实轴到点1，再平行于虚轴到点。i1计算积分,Czdz其中C为第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--1010--xyO解1）Czdz1023)32(dtittt2）Czdzi1BA3）12,CCC从0x到,1x,1:2iyzC从0y到。1y21CCCzdzzdzzdz1023)32(dtittt10xdx10)1(idyiyi2ztit2ztit)(2ittdtit)21(10i10)(2ittdtit)2(i1:,Czx第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--1111--例21）从原点O沿曲线ittz2到点;1i2）从原点O沿曲线ittz2到点;1i3）从原点O沿实轴到点1，再平行于虚轴到点。i1计算积分,Cdzz其中C为解1）Cdzz1023)2(dtittt2）Cdzz1023)2(dtittt31i31ixyOi1A2ztit2ztit102)21)((dtititt102)2)((dtititt第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--1212--3）,21CCC从0x到,1x,1:2iyzC从0y到。1y21CCCdzzdzzdzz10xdxi1xyOi1BA2ztit2ztit,:1xzC10)1(idyiy第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--1313--例3设C为正向圆周,1||z计算：1）22(2);Cxyxyidz2）().Cyxidz解利用)2.1.3(与格林公式，1）Cxydydxyx2)(222）Cxdyydx原式idydxdzCdyyxxydxi)(2220原式Cydyxdxi2第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--1414--例4设C为正向圆周：),0(||0rzz计算01()nCdzzz其中，n为正整数。解设C的方程为0,izzre从0到,2则0()nCdzzz因此，当1n时，Czzdz020)1(1deirnin20innerdirei20idi2第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--1515--当1n时，0()nCdzzz即01()nCdzzz201))1sin()1(cos(dninrin20)1(1deirnin0)5.1.3(i21n01n第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--1616--1）)6.1.3()()(CCdzzfdzzf2）(,)()(CCdzzfdzzf为常数))7.1.3(3）)8.1.3()()())()((CCCdzzgdzzfdzzgzf4）)9.1.3(|)(||)(|CCdszfdzzf特别，当曲线C弧长为L时，)(zf在C上满足Mzf|)(|则有)10.1.3(|)(|MLdzzfC三积分的性质第一节第一节复变函数积分的概念复变函数积分的概念第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--1717--式的证明：)9.1.3(在||kz)1.1.3(式中，由于表示1kz到kz的距离，记ks为1kz到kz的曲线段的弧长，则nkkknkkksfzf11|)(||)(|两边取极限即得。)9.1.3(第二节第二节柯西柯西------古萨定理古萨定理第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--1818--第二节柯西--古萨定理一柯西--古萨定理二复合闭路定理第二节第二节柯西柯西------古萨定理古萨定理第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--1919--设D为复平面上的单连通区域，为ivuzf)(D上的解析函数，C为D内的一条正向简单闭曲线，由于)(zf在D上解析，从而在D上即在C所围的区内满足柯西－黎曼条件：yxyxuvvu,因此，对上面的两个曲线积分使用格林公式可得节公式)2.1.3(知()CCCfzdzudxvdyivdxudy由上一柯西--古萨定理第二节第二节柯西柯西------古萨定理古萨定理第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--2020--Cudxvdy即()0Cfzdz因此有定理（柯西－古萨基本定理）如果函数在单连通区域B)(zfw内解析，C是B内的一条正向简单闭曲线，则()0(3.2.1)Cfzdz0Cvdxudy1)(Dyxdxdyuv0第二节第二节柯西柯西------古萨定理古萨定理第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--2121--内的我们可以将柯西－古萨基本定理作一修改：如果函数在区域B)(zfw内解析，C是B一条正向简单闭曲线，则()0.Cfzdz且所围的区域仍完全落在B内，事实上，我们可以将B分成两个区域，为包含C的单连通区域,D在D上对C使用柯西－古萨定理即可。其中的一个CDB第二节第二节柯西柯西------古萨定理古萨定理第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--2222--由此可得：当C是不通过且不包围点0z的一条正向简单闭曲线，则010(3.2.2)()nCdzzz更一般可知：设C为正向简单闭曲线，)(zf在C上及C内解析，则()0Cfzdz第二节第二节柯西柯西------古萨定理古萨定理第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--2323--设D为复平面的一个区域，)(zf在D内解析，AABB1C1,CC为D内两条正向简单闭曲线，1C在C的内部，1,CC所围的区域仍完全落在D的内部。作两条不相交的曲线段,,AABB分别连接C上点A到1C的一点,AC上的点B到上的一点1C。B因此DC且二复合闭路定理第二节第二节柯西柯西------古萨定理古萨定理第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--2424--()CfzdzAnBBBBAnBBnAAAAnBAnBBnAA由于()0BnAAnBBfzdz()0AmBBmAAfzdz所以1()()CCfzdzfzdzAABBmmnn1CDCAnBBmABmAAAABmAAmBBBBmABmAAmBB1C第二节第二节柯西柯西------古萨定理古萨定理第三章第三章复变函数的积分复变函数的积分吴新民--2525--更一般，我们有定理（复合闭路定理）设函数)(zf在区域D上解析，nCCC,,,1是D内的互不相交的正向简单闭曲线，且nCC,,1是落在C的内部的互不包围的，nCCC,,,1所围的区域完全落在,D则1()()(3.2.3)knkCCfzdzfzdzC1C2C3C第二节第