第十二届中关村青联杯全国研究生数学建模大赛面向节能的单多列车优化决策问题10

参赛密码（由组委会填写）第第十十二二届届““中中关关村村青青联联杯杯””全全国国研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛学校南京航空航天大学参赛队号10287013队员姓名1.秦鹏2.张粲3.孙加亮-1-参赛密码（由组委会填写）第第十十二二届届““中中关关村村青青联联杯杯””全全国国研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛题目面向节能的单/多列车优化决策问题摘要：本文研究了单/多列车动力学建模以及面向节能的运行优化控制问题，对比分析了非线性内点法和遗传算法的优缺点并灵活运用，取得了如下成果：问题一为单列车的节能运行优化控制问题。第（1）问中首先建立了以时间为自变量的单列车动力学模型，并以“牵引-巡航-惰行-制动”四个阶段关键点参数为变量、以能耗最低为目标建立了单列车节能运行最优化模型。利用MATLAB编程，分别采用非线性内点法和遗传算法求解该问题，这两种方法的结果吻合得很好，且得到的能耗降幅均超过20%，说明了模型的有效性以及优化方法的可行性。第（2）问中首先给出了以位移为自变量的新动力学模型，对比第（1）问的建模，在优化中考虑了两个运行区间时间分配的影响，同样建立了以能耗最低为目标函数的最优化模型。非线性内点法以其能够准确快速求解中型非线性约束优化问题，被用来寻找该模型的最优解，最优能耗降幅相对于初始值超过28.5%，结果也表明两区间的时间分配近似与区间路程成正比。问题二为多列车的节能运行优化控制问题，主要考虑再生能量的利用。第（1）问中为缩短问题规模，根据“能耗与运行时间成反比”条件，假设站停时间最短，以列车发车时间间隔为变量，创新性地以所有列车制动段与牵引段重叠时间最大为目标建立最优化模型。遗传算法具有大规模问题搜索全局最优解的能力，也被用来求解该问题，结果表明优化后所有列车间的制动与牵引重叠时间比优化前增加了10.8%，有效地提高了再生能量的利用率。第（2）问中考虑早晚高峰的影响，提出了一种新型“分步”优化方法，首先优化240辆列车在5个时间段的最优分配方案，其次利用遗传算法进行全局-2-的最优发车间隔时间求解。“分步”建模优化方法能够有效地处理复杂的约束问题，具有创新性。问题三在问题二的基础上考虑列车延误问题。建立了以站停时间调整量和区间运行调整量为变量、以列车总延误时间最小为目标的线性规划模型，并用问题二中高峰期和非高峰期的两辆列车延误10s进行验证，内点法求解结果表明高峰期中列车延误影响范围更大、延误总时间更长，符合实际情况，从而验证了模型的有效性。再考虑延误时间的随机性，推导并分析了最小总延误时间的数学期望，具有理论指导意义。关键词：单/多列车，再生制动，非线性内点法，遗传算法，“分步”优化方法-3-一、问题重述轨道交通系统的能耗是指列车牵引、通风空调、电梯、照明、给排水、弱电等设备产生的能耗。根据统计数据，列车牵引能耗占轨道交通系统总能耗40%以上。在低碳环保、节能减排日益受到关注的情况下，针对减少列车牵引能耗的列车运行优化控制近年来成为轨道交通领域的重要研究方向。列车在站间运行时会根据线路条件、自身列车特性、前方线路状况计算出一个限制速度。列车运行过程中不允许超过此限制速度。限制速度会周期性更新。在限制速度的约束下列车通常包含四种运行工况：牵引、巡航、惰行和制动。如果车站间距离较短，列车一般采用“牵引-惰行-制动”的策略运行。如果站间距离较长，列车通常会采用牵引到接近限制速度后，交替使用惰行、巡航、牵引三种工况，直至接近下一车站采用制动进站停车。列车在运行过程中，实际受力状态非常复杂。采用单质点模型是一种常见的简化方法。单质点模型将列车视为单质点，列车运动符合牛顿运动学定律。其受力可分为四类：重力G在轨道垂直方向上的分力与受到轨道的托力抵消，列车牵引力F，列车制动力B和列车运行总阻力W。列车牵引力F是由动力传动装置产生的、与列车运行方向相同、驱动列车运行并可由司机根据需要调节的外力。牵引力F在不同速度下存在不同的最大值max()FFfν=，具体数据参见附件。列车实际输出牵引力（kN）基于以下公式进行计算：maxFFµ=。其中，µ为实际输出的牵引加速度与最大加速的的百分比，maxF为牵引力最大值（kN）。列车总阻力是指列车与外界相互作用引起与列车运行方向相反、一般是阻碍列车运行的、不能被司机控制的外力。按其形成原因可分为基本阻力和附加阻力。附加阻力主要考虑坡道附加阻力和曲线附加阻力。有时为了计算方便，当坡道附加阻力，曲线附加阻力同时出现时，根据阻力值相等的原则，把列车通过曲线时所产生的附加阻力折算为坡道阻力，加上线路实际坡度即为加算坡度。制动力B是由制动装置引起的、与列车运行方向相反的、司机可根据需要控制其大小的外力。制动力B存在与制动时列车速度有关的最大值，max()BBfν=，当然制动力也可以小于maxB。具体数据参见附件。列车实际输出制动力（kN）基于以下公式进行计算maxBBµ=。其中，µ为实际输出的制动加速度与最大加速的的百分比，maxB为制动力最大值（kN）。当列车在站间运行时，存在着多条速度距离曲线供选择。不同速度距离曲线对应不同的站间运行时间和不同的能耗。此外，即便站间运行时间相同时，也存在多条速度距离曲线可供列车选择。一般认为，列车站间运行时间和能耗存在近似的反比关系，比较准确的定量关系应根据公式计算。增加相同的运行时间不一定会减少等量的能耗。列车站间运行时间与能耗变化的趋势影响能耗的减少。随着制动技术的进步，目前城市轨道交通普遍采用再生制动。再生制动时，牵引电动机转变为发电机工况，将列车运行的动能转换为电能，发电机产生的制动力使列车减速，此时列车向接触网反馈电能，此部分能量即为再生制动能。列车i+1在制动时会产生能量regE，如果相邻列车i处于加速状态，其可以利用regE，从而减少从变电站获得的能量，达到节能的目的。如果列车i+1制动时，其所处供电区段内没有其他列车加速，其产生的再生能量除用于本列车空调、照明等设-4-备外，通常被吸收电阻转化为热能消耗掉。需研究以下问题：一、单列车节能运行优化控制问题（1）请建立计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从6A站出发到达7A站的最节能运行的速度距离曲线，其中两车站间的运行时间为110秒，列车参数和线路参数详见文件。（2）请建立新的计算速度距离曲线的数学模型，计算寻找一条列车从6A站出发到达8A站的最节能运行的速度距离曲线，其中要求列车在7A车站停站45秒，6A站和8A站间总运行时间规定为220秒（不包括停站时间），列车参数和线路参数详见文件。二、多列车节能运行优化控制问题（1）当100列列车以间隔T199[,,]hh=⋅⋅⋅H从1A站出发，追踪运行，依次经过2A，3A，……到达14A站，中间在各个车站停站最少minD秒，最多maxD秒。间隔H各分量的变化范围是minH秒至maxH秒。请建立优化模型并寻找使所有列车运行总能耗最低的间隔H。要求第一列列车发车时间和最后一列列车的发车时间之间间隔为063900T=秒，且从1A站到14A站的总运行时间不变，均为2086s（包括停站时间）。假设所有列车处于同一供电区段，各个车站间线路参数详见文件。补充说明：列车追踪运行时，为保证安全，跟踪列车（后车）速度不能超过限制速度limitV，以免后车无法及时制动停车，发生追尾事故。其计算方式可简化如下：limitlinemin(,2)eVVLB=。其中lineV是列车当前位置的线路限速（km/h）,L是当前时刻前后车之间的距离（m），eB是列车制动的最大减速度（m/s2）。（2）接上问，如果高峰时间（早高峰7200秒至12600秒，晚高峰43200至50400秒）发车间隔不大于2.5分钟且不小于2分钟，其余时间发车间隔不小于5分钟，每天240列。请重新为它们制定运行图和相应的速度距离曲线。三、列车延误后运行优化控制问题接上问，若列车i在车站jA延误ijDT（10秒）发车，请建立控制模型，找出在确保安全的前提下，首先使所有后续列车尽快恢复正点运行，其次恢复期间耗能最少的列车运行曲线。假设ijDT为随机变量，普通延误（010sijDT）概率为20%，严重延误（10sijDT）概率为10%（超过120s，接近下一班，不考虑调整），无延误（0ijDT=）概率为70%。若允许列车在各站到、发时间与原时间相比提前不超过10秒，根据上述统计数据，进行分析。二、模型假设1.为便于分析，忽略列车长度，将单列车视为质点模型进行动力学分析；2.忽略乘客质量，即假设列车在运行过程中质量不变；3.多列车在整条线路上运行时，假设每一辆列车完全相同，并且列车单向行驶，不往返运行；4.多列车在整条线路上运行时，假设所有列车处于同一供电区段，每一辆列车的总运行时间相同，并且在同一个站段区间内的运行时间相同，在各个车站停站-5-时间都等于最小值以减少能耗。三、符号说明符号含义符号含义nA第n站编号i第i辆列车G列车重力M列车质量F列车所受牵引力fµ牵引加速度比值B列车制动力bµ制动加速度比值W列车运行阻力C列车所受合力0ω单位基本阻力1ω单位附加阻力iω单位坡道阻力系数cω单位曲线阻力系数a阻力多项式系数b阻力多项式系数c阻力多项式系数d线路坡度s列车路程ν列车速度limitV后车（跟车）限制速度lineV当前位置的线路限速it列车运行时刻0T发车时间总间隙nT站段区间内运行时间rT线路分段运行时间dT列车总晚点时间H发车间隔时间集合D停站时间E列车运行耗能usedE再生能量利用量mechE制动过程产生总机械能regE制动过程产生有效能量fE制动过程阻力耗能overlapt列车间制动与加速重叠时间breakt制动时间L前后车距eB列车制动的最大减速度ijDT列车延误时间Pr列车延误的概率ina列车i到达nA站的时刻ina−列车i到nA站前的制动时刻ind列车i离开nA站的时刻ind+列车i加速离开nA站后时刻ijpa列车i在jA站计划到达时间ijpl列车i在jA站计划到达时间ijta列车i在jA站实际到达时间ijtl列车i在jA站实际到达时间ijda列车i在jA站到达延误时间ijdl列车i在jA站到达延误时间iy站段区间内运行时间最小值q两车间追踪间隔N列车延误模型目标函数α延误恢复的能耗权重系数delayT列车最小总延误时间n延误时间ijDT比10取整-6-四、问题一求解4.1问题分析问题一是关于单列车的节能运行优化控制问题。单列车节能运行操纵优化问题可简单描述为：列车从零开始以初速度从始发站出发,要求在给定运行时间到达终点站,运行距离给定,运行初、末速度为0。建立适当的计算速度距离曲线的数学模型,要求运行能耗极小。列车在运行过程中，一般包括牵引阶段、巡航阶段、惰行阶段、制动阶段四种工况[1-2]。为便于分析，将单列车视为单质点模型进行运动学与动力学分析，列车运动符合牛顿运动学定律。通常，其受力包括：重力G，轨道垂直方向上的支撑力，列车牵引力F，列车制动力B和列车运行总阻力W。问题一第（1）问要求寻找一条列车从6A站出发到达7A站的最节能运行的速度距离曲线，其中两车站间的运行时间为110秒，两车站间距1354m。根据给定数据，我们可以作出该段线路的限制速度图，如图1所示。由此可知，从6A站出发120m后，限制速度从55km/h增大至80km/h，直到到达7A站。首先考虑限制速度为55km/h的初始段。如果列车在牵引阶段以最大加速度1m/s2从6A站出发，运行120m后，可得速度为55.77km/h，与限制速度差异很小，所以在这一段路程中，可以认为速度不会超过该段限制速度。因此，在实际分析中，可以将整段路程的限制速度均视为80km/h来简化处理。0200400600800100012001400020406080100距离(m)限制速度(km/h)图1.6A站到7A站的限制速度图问题一第（2）问要求寻找一条列车从6A站出发到达8A站的最节能运行的速度距离曲线，其中列车在7A车站停站45秒,总运行时间为220秒（不包括停站时间），两车站间距2634m。根据给定数据，作出该段线路的