复变函数第二章2解析函数

2.4解析函数2.4.1解析函数的概念定义:处可导，不仅在若函数0zzf)(的某个邻域而且在0z内的任意一点处可导，解析。在则称0zzf)(内解析。在区域内每一点解析，则称在区域若函数DzfDzf)()(0z0zz解析函数的应用:(一)解析函数的任意阶导数都是存在的.(第三章)(二)解决复变函数的表示问题.(第四章)的形式？表示为是否一定可以例如：给定复变函数zyxivyxuzf),(),()(xyiyxzf222)(例子：xyiyxzf222)(2zzf)(?)(zf的形式。一定可表示为为解析函数，则若zzfzf)()((三)解决调和函数的问题.(第2.5小节)(四)解析函数对应的函数图像有较好的几何性质.(第六章保形映照;第七章具体的应用-电场的分析)注:函数解析与可导之间的关系:针对一个点:处可导在0zzf)(处解析在0zzf)(处解析在0zzf)(处可导在0zzf)(针对一个区域:内可导在区域Dzf)(内解析在区域Dzf)(0z0z0z放大D例1常见函数的解析性质导，处处解析。在整个复平面上处处可指数函数ze处处解析。处可导，等在它们的定义域内处三角函数,cossinzz,处处可导，处处解析。在除去原点及负实轴外及主值对数函数zzlnLn其它除原点及负实轴外解析为负整数除原点外解析为正整数或零整个复平面上解析幂函数z2.4.3函数解析的必要与充分条件内可导在区域Dzf)(内解析在区域Dzf)(内解析在定义域函数Dyxivyxuzf),(),()(的充要条件定理内处处可微；在）（Dyxvyxu),(),,(1xvyuyvxuD黎曼方程内处处满足柯西）在（2的解析性？问题：判定)(zf);,(),,(.yxvyxua确定续？判定它们在哪些点处连计算偏导数yvxvyuxub,,,.,)(,d.的可导点中的共同点为判定zfcb黎曼方程？柯西在哪些点处满足判定偏导数yvxvyuxu,,,.c若可导的点构成一个区域,在这一区域上解析；则)(zf若可导的点只是一些孤立的点,.)(处处不解析则zf)Im()(zzzf）（1,iyxz令2iyxyyiyxzf)()(2yyxvxyyxu),(),(xyuyxuyyvxv20面内处处连续；都是初等函数，在复平处成立仅在黎曼方程针对柯西0zxvyuyvxu处可导仅在0zzf)(解:例2解析。在整个复平面上处处不)(zf)()()()(yyxiyxzf212222解:yyxyxvyxyxu21222),()(),(xyuyxu212)(222yyvxxv面内处处连续；都是初等函数，在复平在复平面上处处成立黎曼方程针对柯西)()(xxyy222212在复平面上处处可导)(zf(复平面构成一个区域)析。在整个复平面上处处解)(zf2.5调和函数引例（热传导问题）冰冷却火加热稳定后，导体中温度的分布情况：02222yTxTyxT满足：),(方程偏导数，且满足内具有二阶连续在区域若二元实变函数LaplaceyxhD),(02222yhxh内的调和函数。为则称Dyxh),(2.5.1调和函数的概念定义:函数有怎样的联系？问题：调和函数与解析xvyuyvxu,上的解析函数为区域设Dyxivyxuzf),(),()(.,222222yxvyuxyvxu（解析函数有任意阶的高阶导数—第三章的结论）具有二阶连续偏导数),(),,(yxvyxu(柯西-黎曼方程))],(),()(),(),,(),([''''yxfyxfx,yyxfyxfyxfyxxyyxxy则连续，在的二阶混合偏导数若函数xyvyxv22，02222yuxu内的解析函数，为区域若定理D),(),()(.yxivyxuzf102.D),(),,(内的调和函数都是则yxvyxu),(),(),(),,(yxivyxuyxvyxu都为调和函数，但注：若.不一定为解析函数,,2222yxyvyxu如：,)(2,2,2,22222222yxxyxvyuxuxxu,)(263223222yxyyxxv,)(26,)(322322222222yxyyxyvyxyxyv,02222yuxu,02222yvxv为调和函数),(),,(yxvyxu.,xvyuyvxu但不是解析函数),(),(yxivyxu(不满足柯西-黎曼方程)定义:内的调和函数，且它们为设函数Dyxvyxu),(),,(黎曼方程，的一阶偏导数满足柯西-的共轭调和函数.),(),(yxuyxv为则称注:内解析，在区域函数Dyxivyxuzf),(),()(的共轭调和函数。为),(),(yxuyxv(1)证明:为解析函数),(),()(yxivyxuzf为调和函数),(),,(yxvyxu.-黎曼方程足柯西且它们的一阶偏导数满(定理2.10)(解析的充要条件)充要条件xyyxvyxyxu222),(,),(设例3的共轭调和函数么？为为调和函数么和问),(),(?),(),(yxuyxvyxvyxu解:具有连续的二阶偏导数),(),,(yxvyxu222222yuxu002222yvxv0022222222yvxvyuxu，.),(),(为调和函数和yxvyxu又因为柯西-黎曼方程yvxxu2xvyyu2成立,的共轭调和函数。为所以，),(),(yxuyxv解析函数的实部,虚部为调和函数,且虚部为实部的共轭调和函数.通常不是的共轭调和函数，则为若),(),(),()(yxuyxuyxv2的共轭调和函数。),(yxv的共轭调和函数。不是所以，),(),(yxvyxu不一定是解析函数）为解析函数，但不能任意调换，即)()(),(),(),(),,((x,yiux,yvyxivyxuyxvyxu,),(,)(xyyxvyxx,yu222例如：设为解析函数2zyxivyxuzf),(),()(的共轭调和函数。为),(),(yxuyxv不是解析函数)(),(),()(222yxixyyxiuyxvz(不满足柯西-黎曼方程)2.5.2已知实部或虚部的解析函数的表达式（方法一）根据共轭调和函数的定义问题：为解析函数。使得求解函数已知调和函数),(),()(),(),,(yxivyxuzfyxvyxu的共轭调和函数）或者就是求解),((yxu满足柯西－黎曼方程),(),,(yxvyxuxvyuyvxu满足的微分方程，得到),(yxv通过求解微分方程可得到结果。,),(xyyxyxu224已知一调和函数例。使求一解析函数00)(),(),()(fyxivyxuzf解：（方法一）根据柯西－黎曼方程，得yxxu2yvxyyu2xv（1）（2）根据(1)可得dyyxyxv)(),(22212yxy)(xg)('xgyxv2根据（2）得))('(xgyxy22xxg)('221xxg)(c为任意实数）c(cyxyxyxv2221221),(222211222fzxyxyiyxyxc000()00xfcy由)()(222221221xxyyixyyxzf（方法二）根据共轭调和函数的定义满足柯西－黎曼方程),(),,(yxvyxuxvyuyvxu的全微分可以得到),(yxvdyxudxyuyxdv)(),(cdyxudxyuyxvyxyx)(),(),(),(00为任意实数。为任意的一点，其中，c),(00yx【定理2.11】根据柯西－黎曼方程，得yxxu2yvxyyu2xv例3（续）（方法二）dyxudxyuyxdv)(),(dyyxdxyx)()(22),(),()()(),(yxcdyyxdxyxyxv0022(0,0)(x,y)(x,0)002xyxdxxydyc2211222xxyyc为解析函数。使得求解函数已知调和函数),(),()(),(),,(yxivyxuzfyxuyxv注：求解方法是完全相同的。平面静电场的分析10cyxuzfivuzf),(,)(')(则曲线为解析函数，必互相正交。2cyxv),(yxuukcyxu11斜率为曲线证：),(yxvvkcyxv22斜率为曲线),(121kk根据柯西-黎曼方程,所以,相互正交.注:线族，则表示平面静电场的等势若1cyxu),(反之亦然。表示其电力线族,),(2cyxv因此,知道了等势线方程即可求出电力线方程,反之亦然.例:求等势线方程。力线方程为已知某平面静电场的电,122cyx解;,),(22yxyxv令它是调和函数,可作为某解析函数的虚部,求出其实部),(yxu常数。则等势线方程为),(yxuxuyvyuxvy2x2dyxdxydyyudxxudu)()(22cdyxdxyyxuyx),(),()()(),(0022cdyxdxxy0020)(cxy2cxy等势线方程为(0,0)(x,y)(x,0)