2021年广东省中考数学试卷-解析版

2021年广东省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列实数中，最大的数是()A.𝜋B.√2C.|−2|D.32.据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省(区、市)及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为()A.0.510858×109B.51.0858×107C.5.10858×104D.5.10858×1083.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是()A.121B.61C.31D.214.已知9𝑚=3，27𝑛=4，则32𝑚3𝑛=()A.1B.6C.7D.125.若|𝑎−√3|√9𝑎2−12𝑎𝑏4𝑏2=0，则𝑎𝑏=()A.√3B.29C.4√3D.96.下列图形是正方体展开图的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个AB是⊙𝑂的直径，𝐴𝐶=3，7.如图，点C为圆上一点，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交AC于点D，𝐶𝐷=1，则⊙𝑂的直径为()A.√3B.2√3C.1D.28.设6−√10的整数部分为a，小数部分为b，则(2𝑎√10)𝑏的值是()A.6B.2√10C.12D.9√109.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记𝑝=第1页，共24页𝑎𝑏𝑐2，则其面积𝑆=√𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐).这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.若𝑝=5，𝑐=4，则此三角形面积的最大值为()A.√5B.4C.2√5D.510.设O为坐标原点，点A、B为抛物线𝑦=𝑥2上的两个动点，且𝑂𝐴⊥𝑂𝐵.连接点A、B，过O作𝑂𝐶⊥𝐴𝐵于点C，则点C到y轴距离的最大值()A.212B.√23C.√2D.1二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）𝑥2𝑦=−211.二元一次方程组{的解为______．2𝑥𝑦=212.把抛物线𝑦=2𝑥21向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．∠𝐴=90°，𝐵𝐶=4.13.如图，等腰直角三角形ABC中，分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为______．14.若一元二次方程𝑥2𝑏𝑥𝑐=0(𝑏,c为常数)的两根𝑥1，𝑥2满足−3𝑥1−1，1𝑥23，则符合条件的一个方程为______．15.若𝑥𝑥=1132𝑥−𝑥2=______．0𝑥1且，则64116.如图，在ABCD中，𝐴𝐷=5，𝐴𝐵=12，𝑠𝑖𝑛𝐴=5.过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，垂足为E，则sin∠𝐵𝐶𝐸=______．∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=3.点D为平面上一个动点，∠𝐴𝐷𝐵=45°，17.在△𝐴𝐵𝐶中，则线段CD长度的最小值为______．三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）2𝑥−43(𝑥−2){18.解不等式组𝑥−7．4𝑥2第2页，共24页19.某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法，从该年级全体600名学生中抽取20名，其竞赛成绩如图：(1)求这20名学生成绩的众数，中位数和平均数；(2)若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．20.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使𝐶𝐸=𝐴𝐵．(1)若𝐴𝐸=1，求△𝐴𝐵𝐷的周长；(2)若𝐴𝐷=3𝐵𝐷，求tan∠𝐴𝐵𝐶的值．1第3页，共24页21.在平面直角坐标系xOy中，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数𝑦=𝑥图象的一个交点为𝑃(1,𝑚)．(1)求m的值；(2)若𝑃𝐴=2𝐴𝐵，求k的值．22.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x元(50≤𝑥≤65)，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数解析式并求最大利润．23.如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点.连接BE，将△𝐴𝐵𝐸沿BE折叠得到△𝐹𝐵𝐸，BF交AC于点G，求CG的长．4第4页，共24页𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵≠𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐶=24.如图，在四边形ABCD中，F分别在线段BC、AD上，90°，𝐴𝐵=𝐴𝐹，点E、且𝐸𝐹//𝐶𝐷，𝐶𝐷=𝐷𝐹．(1)求证：𝐶𝐹⊥𝐹𝐵；(2)求证：以AD为直径的圆与BC相切；(3)若𝐸𝐹=2，∠𝐷𝐹𝐸=120°，求△𝐴𝐷𝐸的面积．25.已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象过点(−1,0)，且对任意实数x，都有4𝑥−12≤𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≤2𝑥2−8𝑥+6．(1)求该二次函数的解析式；(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是(1)中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．第5页，共24页第6页，共24页答案和解析1.【答案】A【解析】解：|−2|=2，∵24，∴√22，∴√223𝜋，∴最大的数是𝜋，故选：A．C选项，−2的绝对值是2，所以这4个数都是正数，B选项，√22，即可得到最大的的数是𝜋．本题考查了实数的比较大小，知道√22是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：51085.8万=510858000=5.10858×108，故选：D．n为整数．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，∴两枚骰子向上的点数之和为7的概率为36=6，故选：B．61第7页，共24页画树状图，共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】D【解析】解：∵9𝑚=32𝑚=3，27𝑛=33𝑛=4，∴32𝑚3𝑛=32𝑚×33𝑛=3×4=12．故选：D．分别根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．5.【答案】B【解析】解：由题意得，𝑎−√3=0，9𝑎2−12𝑎𝑏4𝑏2=0，解得𝑎=√3，𝑏=所以，𝑎𝑏=√3×故选：B．根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3√323√32，=2．96.【答案】C【解析】解：由正方体的四个侧面和底面的特征可知，可以拼成正方体是下列三个图形：故这些图形是正方体展开图的个数为3个．故选：C．第8页，共24页由平面图形的折叠及正方体的展开图的特征解答即可．本题考查了几何体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．7.【答案】B【解析】解：如图，过点D作𝐷𝑇⊥𝐴𝐵于T．∵𝐴𝐵是直径，∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，∴𝐷𝐶⊥𝐵𝐶，∵𝐷𝐵平分∠𝐶𝐵𝐴，𝐷𝐶⊥𝐵𝐶，𝐷𝑇⊥𝐵𝐴，∴𝐷𝐶=𝐷𝑇=1，∵𝐴𝐶=3，∴𝐴𝐷=𝐴𝐶−𝐶𝐷=2，∴𝐴𝐷=2𝐷𝑇，∴∠𝐴=30°，∴𝐴𝐵=𝑐𝑜𝑠30∘=故选：B．如图，过点D作𝐷𝑇⊥𝐴𝐵于𝑇.证明𝐷𝑇=𝐷𝐶=1，推出𝐴𝐷=2𝐷𝑇，推出∠𝐴=30°，可得结论．本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．𝐴𝐶3√32=2√3，8.【答案】A【解析】解：∵3√104，∴26−√103，∵6−√10的整数部分为a，小数部分为b，第9页，共24页∴𝑎=2，𝑏=6−√10−2=4−√10，∴(2𝑎+√10)𝑏=(2×2+√10)×(4−√10)=(4+√10)(4−√10)=6，故选：A．根据算术平方根得到3√104，所以26−√103，于是可得到𝑎=2，𝑏=4−√10，然后把a与b的值代入(2𝑎+√10)𝑏中计算即可．本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．9.【答案】C【解析】解：∵𝑝=∴5=𝑎+𝑏+42𝑎+𝑏+𝑐2，𝑝=5，𝑐=4，，∴𝑎+𝑏=6，∴𝑎=6−𝑏，∴𝑆=√𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)=√5(5−𝑎)(5−𝑏)(5−4)=√5(5−𝑎)(5−𝑏)=√5𝑎𝑏−25=√5𝑏(6−𝑏)−25=√−5𝑏2+30𝑏−25=√−5(𝑏−3)2+20，当𝑏=3时，S有最大值为√20=2√5．故选：C．根据公式算出𝑎+𝑏的值，代入公式即可求出解．本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．10.【答案】A第10页，共24页【解析】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设𝑂𝐸=𝑎，𝑂𝐹=𝑏，由抛物线解析式为𝑦=𝑥2，则𝐴𝐸=𝑎2，𝐵𝐹=𝑏2，作𝐴𝐻⊥𝐵𝐻于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点𝐷(0,𝑚)，∵𝐷𝐺//𝐵𝐻，∴△𝐴𝐷𝐺～△𝐴𝐵𝐻，∴𝐷𝐺𝐵𝐻=，即𝐴𝐻𝐴𝐺 𝑚𝑎2𝑏2𝑎2=𝑎𝑎𝑏．化简得：𝑚=𝑎𝑏．∵∠𝐴𝑂𝐵=90°，∴∠𝐴𝑂𝐸∠𝐵𝑂𝐹=90°，又∠𝐴𝑂𝐸∠𝐸𝐴𝑂=90°，∴∠𝐵𝑂𝐹=∠𝐸𝐴𝑂，又∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐵𝐹𝑂=90°，∴△𝐴𝐸𝑂～△𝑂𝐹𝐵．∴𝐴𝐸𝑂𝐹𝑎2𝑏=𝐸𝑂𝐵𝐹𝑎，即=𝑏2，化简得𝑎𝑏=1．则𝑚=𝑎𝑏=1，说明直线AB过定点D，D点坐标为(0,1)．∵∠𝐷𝐶𝑂=90°，𝐷𝑂=1，∴点C是在以DO为直径的圆上运动，∴当点C到y轴距离等于此圆半径2时，点C到y轴距离的最大．故选：A．BF垂直于x轴于点E、F，𝑂𝐹=𝑏，分别作AE、设𝑂𝐸=𝑎，由抛物线解析式可得𝐴𝐸=𝑎2，𝐵𝐹=𝑏2，作𝐴𝐻⊥𝐵𝐻于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点𝐷(0,𝑚)，易证△𝐴𝐷𝐺～△𝐴𝐵𝐻，所以𝐵𝐻=𝐴𝐻，即22=.可得𝑚=𝑎𝑏.再证明△𝐴𝐸𝑂～△𝑂𝐹𝐵，𝑏𝑎𝑎𝑏所以𝑂𝐹=𝐵𝐹，即𝐴𝐸𝐸𝑂𝑎2𝑏𝐷𝐺𝐴𝐺 𝑚𝑎2𝑎1=𝑏2，可得𝑎𝑏=1.即得点D为定点，坐标为(0,1)，得𝐷𝑂=1.进而可1𝑎推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的半