人教数学(A版)培训手册之四十四函数的应用教学...

人教数学（A版）培训手册之四十四──《函数的应用》教学建议2007-07-09人教网函数的应用在传统教材中没有独立成章，内容只涉及到一些简单的实际问题的解决．《普通高中课程标准实验教科书?数学1》则将函数的应用独立成章，共九个课时，不仅使函数的应用大大加强，而且在内容上也有了很大的扩充，其中像函数零点与方程根的关系、二分法、不同类型函数的增长差异等内容还是首次进入中学教材．这就给中学数学教学带来了新的问题，教师不仅普遍感到难教，而且教学也不易到位．这里就如何搞好本章的教学提出一些参考建议．一、教学指导思想（一）促进学生对函数概念本质的理解对函数概念本质的理解是贯穿必修课程第一模块的一个重要任务．对函数概念本质的理解，并非一次就可以实现，它需要一个螺旋上升循序渐进的过程．在初中，学生已经从变量关系的角度认识了函数的定义及简单的一次函数、二次函数等．在本模块的前两章，学生又由初中变量关系的角度上升到集合与对应的角度来认识函数的定义及指数函数、对数函数等．函数是一个抽象的概念，也是一个具有丰富现实背景的数学概念，在此之前学生就是从函数的实际背景出发，抽象概括出函数的定义．因此，要帮助学生更好地理解函数概念，在此基础上，还要让学生回到实际中，通过本章的教学，引导学生在解决具体问题的过程中，逐步加深对函数概念本质的理解，从而实现由具体到抽象再到具体的认识过程．（二）突出函数是刻画现实世界变化规律的基本数学模型必修课程第一模块强调函数是描述现实世界变化规律的基本数学模型．在本模块的前两章，教科书就已经从函数概念到指数函数、对数函数、幂函数，选取了大量的背景实例和应用实例渗透这种想法．在第三章的教学中，更要结合教科书的实际，从用函数的观点解决方程近似解的问题，到比较不同函数模型的增长差异，以及运用函数模型和建立函数模型解决问题，不断地提供机会引导学生体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型．（三）以问题为中心，注重背景，展现过程，引导积极的学习教科书在本章选择了许多背景实例和应用实例，教学时要以问题为中心，强调背景，让学生体会到所研究的函数来源于实际，这些函数模型在现实世界中的应用极为广泛，它们分别刻画了现实世界中某类变化规律，学习这些函数是有必要的；让学生感到问题的解决是水到渠成的、自然的，而不是强加于人的．以便有利于学生认识数学内容的实际背景．另外，还应结合教科书中实例的丰富背景，在恰当的时候提出问题，引导学生经历观察、归纳、概括、交流、反思的思维过程，经历知识发生发展的过程，并利用教科书的留白、留空鼓励学生积极参与这个过程，主动思考、自主探索，从而达到积极的学习．（四）以联系为纽带，构建知识网络数学学习本身和新课程模块式的结构，都需要我们充分关注知识内容间的联系．本章内容不仅注重函数知识与实际的联系，更注重不同函数知识间的联系，以及函数知识与其他相关知识间的联系，通过综合运用不同的知识解决实际问题．所以，教学应结合教科书内容突出知识之间的联系，以使学生能够感受到不同知识间的联系，从整体上把握所学的数学知识，构建知识的网络．例如，在研究不同增长的函数模型时，就应该引导学生从表格和图象这两种角度出发，发现不同函数模型的区别与联系；在选择函数模型解决实际问题时，就应该引导学生结合实际问题，比较不同函数模型在刻画实际问题时的优劣，从而体会它们之间的区别与联系；在研究用二分法求方程近似解时，就应该引导学生在利用函数的性质和图象求方程近似解的过程中，看到函数与方程之间的联系．（五）以知识应用为契机，培养问题解决的意识知识的应用就是运用所学知识解决问题．本章内容主要体现了函数知识与实际的联系、函数知识的广泛应用，教学应以此为契机，有意识地引导学生在运用函数知识解决相关问题的过程中，养成提出问题、分析问题、解决问题、回答问题的习惯，培养他们问题解决的意识，并提高他们的数学创造力．（六）以思想方法为核心，同时关注数学文化本章蕴含了丰富的思想方法，并以思想方法为核心统领整章的内容．在教学中，我们希望教师不仅要让学生在数学概念上有所收获，在研究数学对象的研究方法上得到启发，而且要让他们感受到思想方法的力量和作用，使教学成为以思想方法为核心的教学．本章主要的思想方法有数形结合、用函数观点研究问题、数学建模．但这些思想方法不是一次就能让学生理解或掌握，教学应以教科书的内容为载体，设计成不同的台阶，提出不同层次的要求，有意识地培养，让学生逐渐理解或掌握它们．像数形结合和用函数观点研究问题的思想方法在本模块中的应用都非常普遍，是本模块蕴含的重要思想方法，在本章的教学中应提出较高的要求．例如，在本章研究几类不同函数模型的增长情况时，不仅需要频繁地使用数形结合的思想方法，而且对数形结合的思想方法还有较高层次的要求．像数学建模的思想方法，在本章之前学生只有初步认识，尚无系统学习，本章的教学也不必一次到位提出较高的要求．只需让学生通过利用函数知识解决实际问题体会建立函数模型的过程，从而向学生渗透数学建模的思想．教学应抓住这些机会，不仅让学生进一步理解函数的概念和性质，更要突出数学思想方法，将以思想方法为核心的教学落到实处．本章的例题、练习、习题和阅读与思考栏目都汲取了不少数学文化的素材，教学应对此给予关注，以使学生不仅在知识和能力方面得到提高，而且能够受到数学文化的熏陶，提高科学文化素养．（七）注重信息技术的使用，改进教学方式与学习方式本章内容普遍涉及到求函数值、作函数图象、研究函数性质、拟合函数等，这些内容的教学都需要使用信息技术．信息技术是一种有效的认知工具，能够为学生进行自主探究提供强有力的平台．通过使用信息技术，可以避免繁琐的计算，呈现其他教学手段难以呈现的内容，并使数学对象得以多元联系地表示，使教师的教学方式和学生的学习方式得到改进，帮助学生更好地理解数学本质，从而主动地探索和研究数学，使学习得到加强．所以，注重信息技术的使用，并通过使用信息技术改进教学方式与学习方式，是本章教学比其他章节教学更迫切的任务．二、具体内容的教学建议（一）函数与方程本单元是函数在数学内部的一个应用．在本单元教学之始，应该对整个单元的教学有一个整体的构思．首先要将求方程近似解的问题转化为求函数零点的问题．从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．如果要求函数的零点，应该先明确函数零点存在性的问题，这也就是接下来研究的第二个问题．通过引导学生观察二次函数f(x)=x2－2x－3的零点所在区间端点函数值乘积的特点，介绍函数零点存在的条件．继而，第三个问题就是如何求函数的零点．可以利用教科书给出的例子lnx＋2x－6=0，面对这样的方程，引导学生寻求解决问题的新方法，通过具体操作，最后获得了二分法求方程近似解的步骤．1．方程的根与函数的零点教材是从特殊情况出发，先通过研究几个具体的一元二次方程的根与其相应的二次函数的零点的联系，再逐步将得到的关系推广到一般情形．本节内容的教学目标就是要让学生了解函数的零点与方程根的联系．为了达到这一教学目标，可结合教材内容，处理好以下几个问题：（1）研究函数零点的必要性初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法求方程的根．如果带着这样的疑虑学习，必然会降低其求知欲，从而影响学习的效果．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，大多数方程都不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．这样做，还为接下来学习二分法埋下了伏笔．（2）为什么要以二次函数和相应的一元二次方程为例来建立函数的零点与方程根的联系由于学生对二次函数和一元二次方程都具有较好的认知基础，并且一元二次方程的根的存在性又有多种情况，所以从二次函数和相应的一元二次方程出发，不仅可以较容易地建立起它们之间的关系，而且方程根的情况具有代表性．这样，由具体到一般，才能自然地使问题得到推广．如果选择更简单的函数和方程，如一次函数和一元一次方程，虽然更容易建立起它们之间的关系，但方程根的情况单一不具有代表性，不利于将问题推广；如果选择复杂的函数和方程，虽然能激发起学生的求知欲，但却不易建立起它们之间的关系，同样也不利于将问题推广．（3）怎样建立函数的零点与方程根的联系首先，要引导学生在形式上关注一元二次方程和相应二次函数的联系，即使函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的值为0时自变量x的取值，就是方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．然后，从形式出发来探索问题的本质．利用二次函数的图象，可以直观地发现一元二次方程的根和相应二次函数与x轴的交点的关系，进而了解求方程的根就是确定函数的零点这一本质．虽然教材在说明具体的一元二次方程和相应二次函数的关系对一般的一元二次方程和相应二次函数也成立时，是利用判别式来说明一元二次方程根的情况，但这并不意味着方程根存在的本质在于判别式．因为判别式仅仅是一元二次方程独有，用判别式来说明一元二次方程根的情况也仅仅是一种方法，而方程根存在的本质在于相应函数的零点情况．（4）在求已知函数的零点个数时需要注意的问题在求函数零点个数时，应先作出函数图象，再直观发现函数图象与x轴的交点个数，然后给出形式化的说明．但要注意以下问题：①对于有的函数，只能利用计算器或计算机才能方便地作出其图象，所以教学要尽可能地使用计算器或计算机．如果不具备信息技术的条件，可考虑将教材中的部分函数进行加工，使得学生能够画出它们的图象．另外，教材的例题同时给出了函数图像和表格，这是为了便于在教学中让学生多角度地进行观察，多元联系地将函数的零点表示出来．学生在做练习和习题时，只需画出函数图象即可．②对于函数图象与x轴只有一个交点的情况，根据教学要求，教材只介绍了函数的变号零点，而对于函数的不变号零点，教材没有介绍，教学也不必做补充．③在给出零点个数的形式化说明时，由于f(a)·f(b)0只能说明函数y=f(x)在区间（a，b）内有零点，要说明它只有一个零点还需证明函数y=f(x)在区间（a，b）内单调．但目前，这对学生的要求还偏高．所以，在这里要适当控制教学要求，一方面可选择合适的函数要求学生利用函数单调性的定义进行证明；另一方面，对于难以利用函数单调性的定义进行证明的，只要求学生能根据函数图象说明函数的单调性即可．总之，在证明函数单调性方面，应把握一个循序渐进的过程，待今后学习了函数的导数之后再作统一的要求2．用二分法求方程的近似解这部分内容的主要教学目标是，根据具体函数的图象，能够借助计算器等信息技术工具用二分法求相应方程的近似解．要达到这一教学目标，关键是处理好以下几个教学问题：（1）如何引入教学应以一个学生能用已有方法求解的方程引入，例如一元二次方程，还是以一个学生不能用已有方法求解的方程引入？如果以一个学生能用已有方法求解的方程引入，虽然对学生来说问题较为简单，但学生势必会对引入二分法的必要性产生怀疑，从而影响教学的效果．所以，还是以一个学生不能用已有方法求解的方程引入为佳．例如用教材中的方程lnx＋2x－6＝0引入，学生用已有方法就不能求解，这时再引入二分法，学生就能认识到学习的必要性，并容易激发起学习的积极性．在此基础上，还要让学生认识到，解方程的方法除了公式法，学生知道得就很少．然而能用公式法解的方程毕竟是少数，绝大多数方程只能研究其近似解．二分法正是一种常用的求方程近似解的方法．（2）如何介绍二分法在上一节的教学中，已经研究了函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间（2，3）内有一个零点，所以本节教学可以直接介绍如何找出这个零点．首先，引导学生去思考将零点所在区间缩小的方法．要让学生对他们所提出的方法进行比较，然后提出二分区间的方法．这里，教师可以通过一些形象的例子让学生体会到二分法的思想．其次，让学生利用二分区间的方法，根据函数零点存在的条件，通过计算函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点在所得区间端点函数值的乘积，来具体寻找该函数零点的近似值．最后，归纳出求函数零点近似值的步骤．（3）如何引导学生认识二分法的本质二分法的本质就是根据函数零点存