指向儿童关系性理解的数学整体教学

指向儿童关系性理解的数学整体教学指向儿童关系性理解的数学整体教学整体教学，是立足儿童核心素养发展，基于核心知识，以具有现实意义的数学问题为导向，凝练学习主题，建构整体关联的儿童学习生态。小学数学整体教学兼顾儿童经验、现实世界和数学知识的整体关联，尤其强调儿童在数学学习中的主体地位，其中比较重要的是儿童对数学知识的关系性理解。义务教育数学课程标准强调：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系的抽象、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象和研究对象之间的关系。”数学教学离不开关系性理解，它是指儿童对数学知识的意义和获得意义的途径、规则的逻辑依据有深刻的认识，能理清数学知识体系内各组成要素之间相互联系、相互作用的方式。史宁中教授也说：“通过数学的眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，提出有意义的数学问题，也能够抽象出数学的研究对象，形成概念、关系与结构。”所以，数学教学不仅要让学生掌握相关知识，更要让他们理解知识的形成过程，并在此过程中理顺知识的来龙去脉，搞清楚知识的生长点和延伸点，形成结构化的认知。一、从点状散布到整体设计，找准起点布全局当前数学教学存在着碎片化的主要原因是割裂了学生的已有认知经验，教师在教授每一课时内容时，没有梳理清楚知识的前因后果，没有调查学生的已有认知基础，也不知道学生后续的发展水平。喻平教授强调：“数学核心素养的成分难以在单个知识点上表现出来，它往往隐藏在知识体系和知识结构之中。”数学教学要立足学生的经验，整体设计教学内容，强调知识与知识之间的相互联系，关注学生对现有知识的理解基础和可能发展程度。因此，教学时要找准起点布全局，力求在大概念统摄下开展数学教学。小学数学是以运算学习为主线，而运算是由算法和算理两部分组成，算法是按照一定规则制定的运算程序或步骤，算理是算法的原理。如果只是让儿童掌握算法不理解算理，那就不能称之为关系性理解。教学时，教师不仅要帮助学生搞清楚怎么算，更要通过各种表征方法帮助他们理解为什么要这样算，也就是要让儿童理解为什么有这样的运算程序。因为，儿童只有在掌握算法过程中明晰了算理，搞清楚算法与算理之间的关系，才能达到关系性理解水平，数学学习也才有意义。比如，教学苏教版小学数学三年级下册“混合运算”。“混合运算”是“数的运算”教学中的节点内容，是学生系统学习四则混合运算的起始课，也是种子课。本节课主要聚焦“运算顺序”，让学生通过自主尝试、画图表征、语言表达等方式，结合生活中购买物品的场景整体理解算理和算法。在此之前学生已经学习过连加、连减、加减混合，以及乘加、乘减的混合运算，只不过二年级没有揭示混合运算这个概念，学生也逐渐形成了“从左往右算”的思维定势。所以，本节课的教学完全可以从学生的已有认知起点出发，通过两组计算题（一组是连加连减，另一组是加减、乘加混合）的对比，让学生理解什么是混合运算，并且感受到混合运算都是有运算顺序的，虽然他们只知道从左往右依次计算。教师通过创设购买文具的问题情境，引导学生列综合算式解决：“买3本笔记本和1个书包一共需要多少元?”“买1盒水彩笔，付出50元，应找回多少元?”等问题。经过自主探究、合作交流、集体讨论等方式，学生发现算式中有乘法和加减法，要先算乘法。难道以前发现的规律是错的?当学生把今天学习的内容和以前的算式进行对比，就会发现二年级的乘加、乘减都是乘法在前面，所以可以从左往右算，其实和今天学习的内容并不矛盾，也是先算乘法，后算加减法。当学生在学习中遇到矛盾时，就说明新学习的知识和学生的原有认知产生了冲突，教师要舍得给予时间，放慢教学的脚步，让学生去理顺相互之间的关系，慢慢感悟，深刻理解。学生经过辨析、表征、讲理后，一定会发现新的规律，获得新的经验。二、从被动接受到发现创造，创设问题引探究当下，小学数学更加强调大概念统整下的整体教学。所谓大概念，并非指数学某一知识的具体概念，而是指反映数学学科本质的、相对稳定的、有共识性和统领性的核心观点。具体落实到课堂教学中，是引发学生持续思考和探究的核心问题，核心问题能够将宽泛的大概念与数学具体的知识相关联，把抽象的学科大概念“翻译”成学生看得懂、易探究的数学问题。比如，苏教版小学数学五年级上册的“钉子板上的多边形”，是一节探索规律的数学活动课，对小学生而言，这节课涉及的规律相对比较隐蔽，如果直接让学生探究，他们根本无法下手。这就需要教师在教学过程中适时创设问题情境，引发学生思考，激发他们的探究欲望。为此，笔者创设了两个具有进阶性的数学问题，学生在问题的引领下自然而然地开展各种数学活动。首先，提供给学生的是钉子板上的几组平面图形，并且这些图形的相同点是每个图形里面都只有一颗钉子，这时教师出示第一个问题：这些图形的面积与图形边上的钉子数有关系吗?会有什么关系呢?这个问题一下子触发了学生研究的欲望，他们通过操作、探究、讨论，发现所有平面图形边上的钉子数都是它面积的2倍，第一个规律迎刃而解。正当学生以为完成任务时，教师趁热打铁，抛出二个问题：难道钉子板上图形的面积只与图形边上的钉子数有关?与图形内部的钉子数有没有关系呢?显然，这个问题再一次打破了学生的固有思维，并激发他们继续研究。这一次学生自己在钉子板上围不同的平面图形，有的组研究图形内部有2颗钉子，有的组研究图形内部有3颗钉子……经过小组探究、全班交流，同学们惊喜地发现了图形内部钉子数也会影响图形边上钉子数和面积之间的关系，再把这些规律进行对比、归纳、总结，最后发现了钉子板上平面图形边上钉子数与面积的关系。儿童的数学学习从来都不是割裂的，因为数学知识之间本身就是相互关联的统一体，教学就是要帮助学生找到知识之间相互联系的“媒介”，那就是儿童的关系性理解。基于关系性理解的数学学习能够帮助学生克服思维惰性，主动建立知识、方法和思想之间的相互联系，建构知识网络，形成结构体系，也能够帮助学生主动探究知识、建构知识，有效地掌握知识、形成技能。三、从零敲碎打到任务关联，抓住联系促建构郑毓信教授说：“基础知识的教学不应求全，而应求联；基本技能的教学不应求全，而应求变。”世界是一个普遍联系的有机整体，任何事物都不可能孤立存在。尤其是数学学科，无论是基本概念、学习方法还是数学思想都是互相联系的有机整体。教学时，教师既要把握数学知识体系中各要素之间的关系，使点状的知识点成为网状的知识面，再形成纵横融通的知识体；还要关注数学思想方法的关联，通过多元表征的思维方式，对数学概念进行系统的建构，体现数学思想方法的系统性和结构化。要想实现知识和思想的关联，课堂上就要有关联性任务驱动学生的数学学习，关联性任务要求不同的任务之间要有关联、要有层次，学生看似完成了几个任务，但是这些任务具有连续性和一致性，是不断进阶的任务群。比如，教学苏教版小学数学三年级下册“找规律”，本课的规律是“一一间隔排列”，学生已经积累了大量的具有一一间隔排列规律的生活经验，只不过这样的经验还处于无意识状态。如何帮助学生理解与建构一一间隔排列物体的内在数学规律是本节课的教学重点。所以，教师要通过结构化、进阶性数学活动帮助学生建立起知识之间的内在联系，最终获得经验的生长。教学时，笔者创设了三个有层次的数学活动，引导学生自主探索规律。任务一（发现规律）：以下物体排列有什么规律?通过大量生活中排列物体，让学生观察、讨论、发现、总结，最后他们发现两种物体都是一个隔着一个间隔排列的。任务二（探索规律）：能组成一一间隔排列的两种物体在数量上有什么要求?教师提供给学生相关研究的素材，如五名男生和几名女生可以组成一一间隔排列?学生经过猜想、操作、交流、展示等活动，发现两种物体要么数量相差1，要么数量相等，否则就不可能一一间隔排列。任务三（理解规律）：一一间隔排列中，数量相差1或者数量相等的两种物体排列上有什么不同?学生通过任务一的素材，经过找一找、圈一圈、说一说等活动，发现两端物体相同时数量相差1，两端物体不同时数量相等。数学知识本身是有逻辑结构的，但呈现在教学内容上却是一个个具体的知识点，这就需要教师引导学生抓住核心知识，从大概念入手把相关知识联系起来思考，进行知识的系统梳理、概括并形成框架。当学生能够理顺知识的前后关系，建立知识的结构体系后，便可以理解数学知识的本质，更好地建构数学概念。四、从机械模仿到灵活运用，深度理解助迁移学生对数学知识的理解，需要避免简单记忆和机械模仿，重要的是要让他们经历知识的建构过程，并通过多种多样的表征方式，丰富知识的外延，深刻理解知识的内涵。整体教学的过程中必然伴随着学生的关系性理解，包括学生对数学基本概念、规律、思想方法的各种关系的把握和深刻认识。因为数学的基本概念、规律、思想方法本身就是一个有机的整体，这个整体并不是简单的堆砌和罗列，而是前后纵横交错，各部分紧密关联、螺旋上升、循序渐进的统一体。比如，苏教版小学数学五年级上册的“多边形面积”，教材先后安排了平行四边形、三角形和梯形面积公式的推导，尤其是第一课时平行四边形面积推导的方法与后面两个图形表面上是不一样的，但本质上是一致的，都是通过“转化”的数学思想方法把未知的图形转化为已经学过的图形。教学时要关注学生对数学思想方法的理解以及不同图形之间关系的梳理。平行四边形面积公式推导的教学就要力求做到“立结构”，让学生通过猜想、操作、验证、总结等活动，建立平行四边形和长方形面积之间的联系，并理解变化前后图形相关元素之间的关系，进而推导出平行四边形的面积公式。与此同时，让学生及时反思并总结公式推导的一般方法和转化的数学思想。当学生带着这样的经验学习三角形和梯形面积公式推导时就水到渠成了，此时，教师完全可以放手让学生独立思考，自己想办法推导这两个图形的面积公式。比如，三角形面积计算公式推导，学生既可以使用“以盈补虚”的割补法，也可以将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，无论使用哪种方法，都体现了转化的数学思想，都是把未知图形转化为已知图形进行知识的自主建构。学生有了这样丰富的经验，今后再学习其他平面图形面积计算公式的推导就可以举一反三，灵活迁移了。总之，建立整体教学观念，就是要把握数学学习的核心要素，帮助学生提高关系性理解的能力，建立起数学知识的“大结构”，打通经验的“隔断墙”，让每一个孤立的知识、方法、思维相互串联、融会贯通。