九年级数学-相似三角形-单元进阶练习题(二)

S-WNPS培优系列——九年级数学相似三角形单元进阶练习题【难度：★★★★☆】注：由于文档内容过多，分为（一）（二）两部分。给您带来不便，敬请原谅！15、如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（-，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3）①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）16、如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=，以O为坐标原点，OC为轴，OA为轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为秒。（1）求直线AC的解析式；（2）用含的代数式表示点D的坐标；（3）当为何值时，△ODE为直角三角形？（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式。17、如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．（1）求证：；（2）若PQ=2，试求∠E度数．18、如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=23，AC，BD相交于点O．（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．19、已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）若点E与点A重合，则x的值为；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。20、△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．21、如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2．(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2O2D；(3)在(2)的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．22、如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b(b≥0)的位置随b的不同取值而变化．(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．当b=时，直线：y=－2x＋b(b≥0)经过圆心M：当b=时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，23、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由；（2）(3分)求∠BOP的度数；（3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．24、如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？25、已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．(1)如图l，求证：PC=AN；(2)如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．26、类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值。（1）尝试探究在图1中，过点E作交BG于点H，则AB和EH的数量关系是，CG和EH的数量关系是，的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若则的值是（用含的代数式表示），试写出解答过程。（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，则的值是（用含的代数式表示）.27、如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=，CQ=时，P、Q两点间的距离(用含的代数式表示)．新课标第一网28、如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=，DC=，高CE=，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为、被直线RQ扫过的图形面积为，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为秒.（1）填空：∠AHB=；AC=；（2）若，求；（3）设，求的变化范围.29、已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．(1)如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作□PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？(2)如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．(3)若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．(4)如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．30、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）；（2）31、如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：；（2）若，⊙O的半径为3，求BC的长．32、如图，在平面直角坐标系中，直线∶=分别与轴，轴相交于两点，点是轴的负半轴上的一个动点，以为圆心，3为半径作.（1）连结，若，试判断与轴的位置关系，并说明理由；（2）当为何值时，以与直线的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形？考答案15、解：（1）由题意得AB的中点坐标为（－3，0），CD的中点坐标为（0，3），分别代入y=ax2+b，得，解得，。∴这条抛物线的函数解析式为y=－x2＋3。（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=，∴。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC=BC=，DE=。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。（I）若∠ADF=90°，∠EDF=120°－90°=30°。在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2。又∵E（t，3），F（t，－t2+3），∴EF=3－（－t2＋3）=t2。∴t2=1。∵t＞0，∴t=1。此时，∴。又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则。设EF=m，则FB=3－m。∴，即m2－3m＋6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90°，此时t不存在。综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。②。16、解：（1）根据题意，得CO=AB=4，则A（0，3），B（4，3），∴直线AC：；（2）分别作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，则有△ADF∽△DCH∽△ACO，∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，而AD=（其中0≤≤），OC=AB=4，AC=5，∴FD=AD=，AF=AD=，DH=，HC=，∴D（，）；（3）CE=，E（，0），OE=OC-CE=4-，HE=|CH-CE|=，则OD2=DH2+OH2==，DE2=DH2+HE2==，当△ODE为Rt△时，有OD2+DE2=OE2，或OD2+OE2=DE2，或DE2+OE2=OD2，即①，或②，或③，上述三个方程在0≤≤内的所有实数解为，，，；（4）当DO⊥OE，及DE⊥OE时，即和时，以Rt△ODE的三个顶点不确定对称轴平行于轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于轴的抛物线D（，），E（4-，0）当时，D（，），E（3，0），因为抛物线过O（0，0），所以设所求抛物线为，将点D，E坐标代入，求得，，∴所求抛物线为（当时，所求抛物线为）17、考点：相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。解答：（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，∴PC=4，PD=2，∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°，∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，∠PBA=∠PDC，∴△PAB∽△PCD，∴===，即=．（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ=，∴∠CPQ=60°，∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，