排列组合习题-(含详细答案)

圆梦教育中心排列组合专项训练1.题1(方法对比，二星)题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额分配方法？解析：“名额无差别”——相同元素问题(法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，共两类：2133CC(种)(法2——挡板法)相邻名额间共4个空隙，插入2个挡板，共：246C(种)注意：“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别，元素无差别)同类题一题面：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？答案：69C详解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法。同类题二题面：求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。答案：36.详解：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值,故解的个数为C92=36（个）。2.题2(插空法，三星)题面：某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.答案：60，48同类题一题面：6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？答案：A66·A47种.详解：任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66·A47种不同排法．同类题二题面：有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种答案：C.详解：恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．题3(插空法，三星)题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．1]没有坐人的7个位子先摆好，[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有：58A=6720种排法.(法2)[1]5个男生先排好：55A；[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，共有：3216662CCC种，综上：有55A(3216662CCC)=6720种.同类题一题面：文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？答案：30。详解：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，有种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同理知有种方法。故由分步计数原理知，方法共有（种）。同类题二题面：(2013年开封模拟)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A．60B．48C．42D．36答案：B.详解：第一步选2女相邻排列C23·A22，第二步与男—女排列A22，第三步男生甲插在中间，1种插法，第四步男—男生插空C14，故有C23·A22·A22·C14＝48种不同排法．4.题4(隔板法变形，三星)题面：15个相同．．的球，按下列要求放入4个写上了1、2、3、4编号的盒子，各有多少种不同的放法?(1)将15个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；314364C(2)将15个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；(3)将15个球放入盒子内，每个盒子不必非空；(4)任取5个球，写上1-5编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；(5)任取10个球，写上1-10编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶数编号的盒子．解析：(2)先将2、3、4号盒子分别放入1、2、3个球，剩下的9个球用挡板法，38C=56(3)借来4个球，转化为19个球放入盒子内，每个盒子非空，318816C(4)不能用“挡板法”，因为元素有差别.(法1)必有一个盒子有2个球，2454240CA；(法2)先选3个球，分别排到4个盒子中的3个里，剩下的盒子自然放2个球.3354240CA；(法3)4154480AC，会重！需要除2！重复原因：1号盒子放1、5号球，先放1后放5与先放5、后放1是一样的！(5)(法1)每个球都有2种选择，共有102种方法；(法2)奇数号的球有1、3、5、7、9，共5个，可以在1、3号两个盒子中选一个放入，共有：54321055555552CCCCCC种放法，同理放偶数号的球也有52种方法，综上共有102种方法.同类题一题面：某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．答案：120.详解：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24种，最后，安排其他两辆车共有A22种方法，故不同的调度方法为C25·C24·A22＝120种．同类题二题面：我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有（）A．12B．18C．24D．48答案：C.详解：分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A,有22A种方法;A与戊机形成三个“空”,把丙、丁两机插入空中有23A种方法;考虑A与戊机的排法有22A种方法.由乘法原理可知共有22A23A22A24种不同的着舰方法.故应选C．5.题5(相同与不同，三星)题面：某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种同类题一题面：(2013·北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案：96.详解：按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的情况是1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A44＝96.同类题二题面：3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96答案：288种.详解：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，有23C种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有22A种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有23A中不同的排法，然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有24A种不同的排法，共有22A23C33A24A种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有12C种不同的方法，然后其他两个男生排列有22A种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列，有23A种不同的排法。共22A23C12C22A23A种不同的排法，故总的排法为22A23C33A24A—22A23C12C22A23A=288种不同的方法。.题6(组合数的性质，二星)题面：5个男生3个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？(1)选出3人参加A活动；(2)选出5人参加B活动；(3)选出4人参加一项活动，女生甲必须参加；(4)选出4人参加一项活动，女生甲不能参加.答案：同类题一题面：从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.70种B.80种C.100种D.140种答案：A.详解：分为2男1女，和1男2女两大类，共有21125454CCCC=70种同类题二题面：男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.答案：（1）120种（2）246种.详解：（1）第一步：选3名男运动员，有C36种选法.第二步：选2名女运动员，有C24种选法.共有C36·C24=120种选法.（2）至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46+C24C36+C34C26+C44C16=246种..题7(选和排，二星)题面：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中有且只有1名女生，则选派方案共有多少种？法一：先选后排，123343CCA法二：边选边排，112334()CAA同类题一题面：将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有()A．12种B．24种C．36种D．48种答案：C.详解：先分组再排列：将4名教师分成3组有C24种分法，再将这三组分配到三所学校有A33种分法，由分步乘法计数原理，知一共有C24·A33＝36种不同分配方案．同类题二题面：甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是()A．258B．306C．336D．296答案：C.详解：根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有C23A27种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A37种不同的站法．根据分类加法计数原理，得共有C23A27＋A37＝336(种)不同的站法．3．题一(合理分类，二星)题面：若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种同类题一题面：只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个答案：C.详解：注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．同类题二题面：由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72B．96C．108D．144答案：C.详解：分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．题8题面：5个男生3个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？(1)选出4人参加一项活动，女生甲必须参加；(2)选3人参加数学竞赛，至少有一名男生.(法1)分类：1名、2名、3名男生：122135353555CCCCC；(法2)间接法——333838155CCC.(法3)[1]先取1名男生；[2]再在剩下的7人中取3人；12577651052CC？同类题一题面：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为.18A.24B.30C.36D答案：C.详解：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C，顺序有33A种，而甲乙被分在同一个班的有33A种，所以种数是23343330CAA