初中数学【9年级上】24.3

24.3正多边形和圆知识点一知识点二知识点一正多边形的相关概念把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.名师解读:由正多边形的相关概念可以发现都是与这个正多边形的外接圆有关的.因此解答正多边形的问题时,特别要注意:(1)任何一个圆都存在着内接正n边形和外切正n边形;(2)任何一个正n边形都有一个外接圆和一个内切圆,而且它们是同心圆.这种关系是研究正多边形的画法和有关计算的基础.(3)正n边形一定是轴对称图形,有n条对称轴,但是不一定是中心对称图形,当边数是偶数时,是中心对称图形,对称中心是各条对称轴的交点;当边数是奇数时,不是中心对称图形.知识点一知识点二例1圆内接正六边形边长为6,则该圆的内接正三角形边长为()A.63B.93C.62D.12解析:根据题意画出图形,设出圆的半径,再由正多边形及直角三角形的性质求解即可.如图(1),(1)∵圆内接正六边形边长为6,∴AB=6,知识点一知识点二可得△OAB是等边三角形,圆的半径为6.如图(2),连接OB,过O作OD⊥BC于D,(2)则∠OBC=30°,∴OD=12OB,∴BD=𝑂𝐵2-𝑂𝐷2=33,故BC=2BD=63.答案:A知识点一知识点二求解正多边有关的计算问题,关键是把握被半径和边心距分割成的直角三角形,将正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题.知识点一知识点二知识点二正多边形的画法由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角就可以等分圆周,从而得到相应的正多边形.具体如下:画一个圆,记为☉O.用量角器画一个的圆心角∠A1OA2,再以点A2为圆心,以弦A2A1为半径在☉O上截得点A3.然后以点A3为圆心,以弦A2A1为半径在☉O上截得点A4,…这样下去,就可以把☉O分成n等份.顺次连接这n个分点,就得到一个正n边形.360°𝑛名师解读:这种方法适合于作任意边数的正多边形,但是作具体的正多边形时,可根据正多边形的边数和自身的特点选择其他方法.知识点一知识点二例2已知半径为R的☉O,用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形.分析:根据正三角形的特点,即中心角为120°,边长与半径相等,边心距等于半径的一半,结合圆的性质可以有多种作法.解:方法一:(1)用量角器依次画圆心角∠AOB=120°,∠BOC=120°;(2)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形.方法二:(1)用量角器画圆心角∠BOC=120°;(2)在☉O上用圆规截取;(3)连接AC,BC,AB,则△ABC为圆内接正三角形.方法三:(1)作直径AD;(2)以D为圆心,以OA长为半径画弧,交☉O于B,C;(3)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形.𝐴𝐶=𝐴𝐵知识点一知识点二方法四:(1)作直径AE;(2)分别以A,E为圆心,OA长为半径画弧与☉O分别交于点D,F,B,C;(3)连接AB,BC,CA(或连接EF,ED,DF),则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形.知识点一知识点二解答作正多边形的作图问题时,先根据正多边形的边数分析其特点,结合圆的性质及基本的尺规作图,然后选择作法,最后作出图形,这种问题的答案不唯一.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一正多边形的计算例1正三角形的内切圆半径r,外接圆半径R与边上的高h的比为()A.1∶2∶3B.1∶2∶3C.1∶2∶3D.1∶3∶2拓展点一拓展点二拓展点三解析:画出图形,连接OB,连接AO并延长交BC于点D,得到直角三角形BOD,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半,得到R=2r,然后求出h与r的关系,计算r,R与h的比.如图所示,在直角三角形BOD中,∠OBD=30°,∴R=2r,AD是BC边上的高h,OA=OB,∴h=R+r=3r.∴r∶R∶h=r∶2r∶3r=1∶2∶3.答案:A拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,构造出含有所有线段的图形,然后数形结合,把所有线段用同一线段分别表示即可求出结论.本题考查的是正多边形,此题几个量之间的数量关系可当做结论加以牢记,有利于今后提高解题的速度.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二正多边形的对称性例2如图,求中心点为原点,顶点A,D在x轴上,边长为2cm的正六边形ABCDEF的各个顶点的坐标.分析:先连接OE,由于正六边形是轴对称图形,并设EF交y轴于G,那么∠GOE=30°.在Rt△GOE中,GE=1,OG=,则E的坐标为(1,),与E关于y轴对称的点F的坐标是(-1,),其他点的坐标类似可求出.333拓展点一拓展点二拓展点三解:连接OE,由正六边形是轴对称图形知,在Rt△OEG中,∠GOE=30°,OE=2.∴GE=1,OG=3.∴A(-2,0),B(-1,-3),C(1,-3),D(2,0),E(1,3),F(-1,3).拓展点一拓展点二拓展点三正多边形的计算,一般是过中心作边的垂线,把内切圆半径、外接圆半径、中心角之间的计算转化为解直角三角形问题解答.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与正多边形有关的综合题例3正六边形的中心角∠MON(60°)绕中心O旋转.试证:无论中心角旋转到何种位置,阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的.分析:连接OB,OA,根据正多边形内角和定理求出∠OAM=∠OBN,再由全等三角形的判定定理即可得出△OAM≌△OBN即可得出结论.16拓展点一拓展点二拓展点三证明:连接OB,OA.∵∠AOM+∠AON=60°,∠AON+∠NOB=60°,∴∠AOM=∠NOB.∵∠OAM+∠OAB=120°,∠OBA+∠OAB=120°,∴∠OAM=∠OBN.∵OA=OB,∴△OAM≌△OBN(ASA).∴S阴影=S△OAB=S六边形ABCDEF.16拓展点一拓展点二拓展点三解答此类问题时,一般先画出图形,数形结合进行解答.解答本题的关键是熟知正六边形的性质及全等三角形的判定定理.