初中数学【9年级下】27.2.2　相似三角形的性质

第二十七章相似27．2相似三角形27．2.2相似三角形的性质A分点训练•打好基础B综合运用•提升能力录目页C思维拓展•冲刺满分知识点一相似三角形对应线段的比1．(2020·青浦区一模)如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应角平分线之比是()A．1∶2B．1∶4C．1∶6D．1∶8A2．已知△ABC∽△DEF，且相似比为4∶3.若△ABC中BC边上的中线AM＝8，则△DEF中EF边上的中线DN＝.63．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在线段AB，AC上．已知BC＝40cm，AD＝30cm.(1)求证：△AEH∽△ABC；(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC.∴△AEH∽△ABC.(2)解：设AD与EH交于点M.∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM是矩形．∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为xcm.(2)求正方形EFGH的边长．∵△AEH∽△ABC，3040301207...EHAMBCADxxx=∴∴∴∴正方形EFGH的边长为1207cm.知识点二相似三角形的周长比4．(2020·铜仁中考)已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为()A．3B．2C．4D．5A5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点．若DE∥BC，13ADAB，则ADDEAEABBCAC＝.136．要制作两个形状相同的三角形框架，其中小三角形的三边长分别为4cm，6cm和9cm，大三角形的最长边是18cm，则大三角形的周长为cm.38知识点三相似三角形的面积比7．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，则△ABC与△DEF的相似比是()A．1∶4B．4∶1C．1∶2D．2∶1C8．将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的()A．9倍B．3倍C．81倍D．18倍B9．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE与△ABC的面积之比为.1∶9【变式题】两个相似三角形的面积→与两个相似三角形相关的其他图形的面积(1)如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为.8(2)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，求S△BDE与S△CDE的比．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA.∵S△DOE∶S△COA＝1∶25，∴15DEAC.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC.151=4.BEDEBCACBEEC∵，∴∴S△BDE∶S△CDE＝1∶4.10．如图，△OAB∽△OCD，OA∶OC＝6∶5，∠A＝α，∠B＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与、△OCD的周长分别是C1和C2，则一定成立的等式是()112266A.B.=5566C.=D.=55OBαCDβSCSCD11．在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D.若△ABC和△DEF的周长之和为80，则△DEF的周长为()A．20B．60C．16D．64A12．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若AA′＝1，则A′D等于()A．2B．3C．4D.32B13.★在△ABC中，AB＝6cm，AC＝5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝.53cm或2cm【解析】∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9.∴△ADE与△ABC的相似比为1∶3.①若∠AED对应∠B时，则1=3ADAC.∵AC＝5cm，∴AD＝53cm；②当∠ADE对应∠B时，则1=3ADAB.∵AB＝6cm，∴AD＝2cm.综上所述，AD＝53cm或2cm.14．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，求DF的长．解：∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等．∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA.∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4.∴S△CEF∶S△CBA＝9∶16.设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k.∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF＝7k.∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比．∴DF∶EF＝7k∶9k.∵EF＝9，∴DF＝7.15．(2020·儋州期末)如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是DC上的一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF.(1)求证：△ADE∽△ECF；(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，AD＝DC＝8.∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°.∴∠AED＋∠FEC＝90°.在Rt△ADE中，∠DAE＋∠AED＝90°，∴∠FEC＝∠DAE，且∠C＝∠D＝90°.∴△ADE∽△ECF.(2)解：∵△ADE∽△ECF，∴ADDEECFC.∵△ADE的周长与△ECF的周长之比为4∶3，(2)若△ADE的周长与△ECF的周长之比为4∶3，求BF的长．∴△ADE的边长与△ECF的边长之比为4∶3.即43ADDEECFC.∵AD＝8，∴EC＝6.∴DE＝8－6＝2.∴243FC.∴FC＝1.5.∴BF＝8－1.5＝6.5.16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A4533，，点D的坐标为(0，1)．(1)求直线AD的解析式；解：(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b，将A4533，，D(0，1)代入得451+==332=1=1.kbkbb，，解得，故直线AD的解析式为y＝12x＋1.(2)易得直线AD与x轴的交点为B(－2，0)，∴OB＝2.(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求△BCE的面积．∵点D的坐标为(0，1)，∴OD＝1.∴BD＝22+=5OBOD.∴S△BOD＝12×2×1＝1.∵直线y＝－x＋3与x轴交于点C(3，0)，∴OC＝3.∴BC＝5.当CE⊥BA时，△BOD∽△BEC，∴225==5BCEBDOSBCSBD△△＝5.∴S△BCE＝5S△BDO＝5；当CE′⊥BC时，△BOD∽△BCE′，∴2252524'SBCEBCSBDOBO△△.∴S△BCE′＝254S△BOD＝254.故△BCE的面积为5或254.