高三理科数学核心素养微专题讲义：4立体几何的数学文化与答题规范

1/8一、立体几何中的数学文化【例1】(2018·泉州市高三3月质量检查)惠安石雕是中国传统雕刻技艺之一，历经一千多年的繁衍发展，仍然保留着非常纯粹的中国艺术传统，如图1(1)粗实虚线画出的是某石雕构件的三视图，该石雕构件镂空部分最中间的一块正是魏晋期间伟大数学家刘徽创造的一个独特的几何体——牟合方盖(如图1(2))，牟合方盖的体积V＝23d2(其中d为最大截面圆的直径)．若三视图中网格纸上小正方形的边长为1，则该石雕构件的体积为()(1)(2)图1A．125－45π2B．5094－45π2C．143－45π2D．161－45π2[思路点拨]观察题目所给三视图及直观图，结合“长对正、高平齐、宽相等”理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，并对问题作答．[解析]由三视图可知，该几何体是由正方体中去除两个圆柱体，其中，正方体的棱长为5，圆柱体的直径为3，高为5，两个圆柱体中间重合部分为牟合方盖，∴该石雕构件的体积为V＝53－322π×5×2＋23×33＝143－45π2，故选C．[答案]C[体会领悟]“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图2/8的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在高考中考查．二、立体几何与其他知识交汇创新►预测1立体几何与函数的交汇【例2－1】(1)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是()图2ABCD(2)已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥S­ABCD，四棱锥S­ABCD的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S­ABCD的体积最大时，它的底面边长等于__________cm.[解析](1)如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，3/8连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD，PQ⊥QR.设AB＝BD＝CD＝1，CP＝x(0＜x≤1)，则CPAC＝x3＝PQ1，即PQ＝x3，又QR1＝BQBC＝APAC＝3－x3，所以QR＝3－x3，所以PR＝PQ2＋QR2＝x32＋3－x32＝332x2－23x＋3，又由题知PR⊥BD，所以f(x)＝362x2－23x＋3＝66x－322＋34，结合选项知选A．(2)如图，设四棱锥S­ABCD的侧棱长为x，底面正方形的边长为a，棱锥的高为h.由题意可得顶点S在地面上的射影为底面正方形的中心O1，则球心O在高SO1上．在Rt△OO1B中，OO1＝h－3，OB＝3，O1B＝22a，∴32＝(h－3)2＋22a2，整理得a2＝12h－2h2.又在Rt△SO1B中，有x2＝h2＋22a2＝h2＋(6h－h2)＝6h，∴h＝x26.4/8∴a2＝2x2－x418，∴VS－ABCD＝13·a2·h＝13×2x2－x418×x26＝1324(－x6＋36x4)．设f(x)＝－x6＋36x4，则f′(x)＝－6x5＋144x3＝－6x3(x2－24)，∴当0＜x＜26时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞26时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．∴当x＝26时f(x)取得最大值，即四棱锥S­ABCD的体积取得最大值，此时a2＝2×(26)2－2643＝16，解得a＝4.∴四棱锥S­ABCD的体积最大时，底面边长等于4cm.[答案](1)A(2)4►预测2立体几何与解析几何的交汇【例2－2】祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型．设某双曲线型冷却塔是曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与直线x＝0，y＝0和y＝b所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得，如图3所示．试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为________．图3[解析]设点A(x0，y0)，则Baby0，y0，所以圆环的面积为πx20－πaby02.因为x20a2－y20b2＝1，所以x20＝a2y20b2＋a2，所以圆环的面积为πa2y20b2＋a2－πaby02＝5/8πa2.根据祖暅原理可知，该双曲线型冷却塔挖出一个以渐近线为母线的圆锥后的几何的体积等于底面半径为a、高为b的圆柱的体积，所以冷却塔的体积为：πa2b＋13πa2b＝43πa2B．[答案]4πa2b3[能力提升]1．与立体几何有关的最值问题主要包括距离、面积与体积等，解答此类最值问题的关键在于准确把握几何体的结构特征，转化相关的最值问题，一般来说主要有两种思路：一是几何法，即根据几何体的结构特征直接判断最值；二是代数法，即通过设置相关的参数，建立目标函数，转化为函数的最值进行求解．2．解答与立体几何有关的轨迹问题的关键是把空间问题平面化，可从两方面考虑：(1)利用曲线的定义；(2)用解析法求出轨迹方程．三、规范解答——立体几何规范示例(12分)(2018·全国卷Ⅰ)如图4，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.图4(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.信息提取解题路线图看到折叠问题，想到折叠前后不变的关系；看到证明平面PEF⊥平面ABFD，想到面面垂直的判定定理；看到求DP与平面ABFD所成角的正弦值，(1)PF⊥BF，BF⊥EF，PF∩EF＝F――――――→线面垂直的判定6/8想到建立空间直角坐标系，利用cos〈n，m〉＝n·m|n||m|求解.BF⊥平面PEF―――――→面面垂直的判定平面PEF⊥平面ABFD(2)建系→求DP及平面ABFD的法向量→求cos〈n，m〉标准答案7/8[解](1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.①又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD．②(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD．③以H为坐标原点，HF→的方向为y轴正方向，|BF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H­xyz.④由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝3.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.⑤可得PH＝32，EH＝32.⑥则H(0,0,0)，P0，0，32，D－1，－32，0，DP→＝1，32，32，HP→＝0，0，32为平面ABFD的法向量．⑦设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝HP→·DP→|HP→||DP→|＝343＝34.⑧所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.⑨8/8阅卷现场第(1)问第(2)问得分点①②③④⑤⑥⑦⑧⑨2111212113分9分①证得BF⊥EF得1分，直接写出不扣分；证得BF⊥平面PEF必得1分；②证得平面PEF⊥平面ABFD得1分，没写BF⊂平面ABFD不扣分；③作出辅助线，证得PH⊥平面ABFD得1分；④正确建立空间直角坐标系得1分；⑤通过数量关系证得PE⊥PF得2分；⑥求得PH＝32，EH＝32得1分；⑦正确写出相应的坐标及方向向量、平面法向量得2分(酌情)，错误不得分；⑧正确求出sinθ＝HP→·DP→|HP→||DP→|得1分；⑨正确写出DP与平面ABFD所成角的正弦值得1分.[满分心得](1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全.如第(2)问的建系说明.(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(2)问中倘若缺少建系时的证明过程，及相应坐标的求解过程导致本题(2)求解几乎不得分.