【新高考复习】专题23 概率统计综合大题必刷100题(解析版)

专题23概率统计综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．医学统计表明，X疾病在老年人中发病率较高．已知某地区老年人的男女比例为3：2，为了解X疾病在该地区老年人中发病情况，按分层抽样抽取100名老人作为样本，对这100位老人是否患有X疾病进行统计，得条形图如下所示．（1）完成下列2×2列联表，并判断有没有90%的把握认为患X疾病与性别有关？男性女性合计患有X疾病未患X疾病合计（2）在这100个样本中，将未患X疾病老年人按年龄段[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85]分成5组，得频率分布直方图如图二所示．求未患病老年人的中位数（精确到小数点后一位）．附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，其中nabcd．20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析；没有90%的把握认为患X疾病与性别有关；（2）中位数约为74.5．【分析】（1）由分层抽样确定样本中老年男性、女性的人数，根据条形图可知未患X疾病的男性、女性人数，进而写出列联表，由卡方公式求2K值，即可给出结论.（2）由频率直方图中频率和为1求参数a，根据中位数在直方图中的性质：其两侧面积相等，即可求中位数.【详解】解：（1）由条形图知男性共60人，女性共40人，未患有X疾病男性有40人，未患有X疾病女性25人，完成2×2列联表如下：男性女性合计患有X疾病201535未患X疾病402565合计6040100计算：22100(20254015)0.1822.70660403565K所以，没有90%的把握认为患X疾病与性别有关．（2）由频率分布直方图得：39181251325325325325a，得23325a设中位数为b，则7075b．2323231(70)553253253252b，得74.5b即未患病老人的年龄中位数约为74.5.2．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出n（*nN且4n）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以1a，2a，3a，…，na表示第一次排序时被排在1，2，3，…，n的n种酒在第二次排序时的序号，并令123123nXaaana，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．下面取4n研究，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，1a，2a，3a，4a等可能地为1，2，3，4的各种排列，且各轮测试相互独立．（1）直接写出X的可能取值，并求X的分布列和数学期望；（2）若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．【答案】（1）X的可能取值为0，2，4，6，8，分布列见解析，5；（2）1216，答案见解析.【分析】（1）先求出X的可能取值，根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；（2）根据独立事件的概率公式进行求解判断即可.【详解】解：（1）X的可能取值为0，2，4，6，84411(0)24 APX，13441(2) 8PXAC，11424417(4) 24CPCXA，111122224413(6) 8CCCPXAC，1244111(8) 6CPXA，所以X的分布列为X02468P124187243816从而X的数学期望11()024248EX7316852486．（2）记“在相继进行的三轮测试中都有2X”为事件A，“在某轮测试中有2X”为事件B，则()(0)(2)PBPXPX1112486，又各轮测试相互独立，()()()()()PAPBBBPBPBPB1111666216，因为()PA表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，而1()0.0046216PA，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，不是靠随机猜测，故这种测试合理．3．随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券.为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的35，没使用过政府消费券的人数占样本总数的310.使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下9045岁以上总计200（1）请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？（2）现从45岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取8人做进一步访谈，然后再从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，则抽取的2人中恰好一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的概率为多少？附：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd.20PKk0.150.100.050.0250k2.0722.7063.8415.024【答案】（1）表格见解析，有；（2）37.【分析】（1）求出年龄在45岁及以下的人数，没使用过政府消费券的人数，再由列联表中数据可填写列联表，然后计算2K可得结论；（2）利用分层抽样可知，抽取使用过政府消费券的市民6人，没有使用过政府消费券的市民2人，设使用过政府消费券的人为1，2，3，4，5，6，没使用过政府消费券的人为A，B，列出全部情况，根据古典概型的概率计算公式即可得出结果．【详解】解：（1）由题意得，总人数为200人，年龄在45岁及以下的人数为32001205人，没使用过政府消费券的人数为32006010人，完成表格如下：使用过政府消费券没使用过政府消费券总计45岁及以下903012045岁以上503080总计14060200由列联表可知22200903050303.5711406080120K，因为3.5712.706，所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关.（2）由题意可知，从45岁及以下的市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民6人，没有使用过政府消费券的市民2人，设使用过政府消费券的人为1，2，3，4，5，6，没使用过政府消费券的人为A，B，则全部情况为：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，1A，2A，3A，4A，5A，6A，1B，2B，3B，4B，5B，6B，AB，共计28种情况，其中，一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的情况有12种，所以恰好抽到“一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券”的概率为123287.4．为助力湖北新冠疫情后的经济复苏，某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：单价x（元/件）88.28.48.68.89销量y（万件）908483807568（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；（2）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润？（参考公式：回归方程ybxa$$$，其中121niiiniixxyybxx，aybx）【答案】（1）20250yx；（2）该产品的单价定为9.75元.【分析】（1）利用已知的数据先求出,xy，再求61iiixxyy，621iixx，然后利用公式求出b，再求出a，从而可得到y关于x的线性回归方程；（2）设工厂获得的利润为L万元，结合（1）可得720250Lxx，化简后利用二次函数的性质可求得答案【详解】解：（1）88.28.48.68.898.56x，908483807568806y，61(88.5)(9080)(8.28.5)(8480)(8.48.5)(8380)iiixxyy(8.68.5)(8080)(8.88.5)(7580)(98.5)(6880)14，62222221(88.5)(8.28.5)(8.48.5)(8.68.5)(8.88.5)iixx2(98.5)0.7，∴6162114200.7ˆiiiiixxyybxx.∴80208.5250aybx，∴回归直线方程为20250yx.（2）设工厂获得的利润为L万元，则720250Lxx2209.75151.25x，∴该产品的单价定为9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为151.25万元.5．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5758606162636465666768697072合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值64u，标准差2.2，以频率作为概率的估计值．（1）为评估设备M的性能，从样本中任意抽取一个零件，记其直径为X，并根据以下规则进行评估（P表示相应事件的频率）：①0.6827PuXu；②220.9545PuXu；③330.9973PuXu．若同时满足上述三个不等式，则设备M的性能等级为甲；若满足其中两个不等式，则设备M的性能等级为乙；若仅满足其中一个不等式，则设备M的性能等级为丙；若全部不满足，则设备M的性能等级为丁．试判断设备M的性能等级．（2）将直径小于或等于2u或直径大于2u的零件认为是次品．①从设备M的生产流水线上任意抽取2个零件，计算其中次品个数Y的数学期望；②从样本中任意抽取2个零件，计算其中次品个数Z的数学期望EZ【答案】（1）设备M的性能等级为丙；（2）①0.12；②0.12．【分析】（1）由题意分别计算出三种情况的结果，即可判断出性能等级；（2）①由题意可得次品共6个，次品率为0.06，然后计算出数学期望，②先列出分布列，然后计算出数学期望.【详解】（1）因为()(61.866.2)0.80.6827PuXuPX，(22)(59.668.4)0.940.9545PuXuPX，(33)(57.470.6)0.980.9973PuXuPX，所以设备M的性能等级为丙．（2）易知样本中次品共6个，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．①由题意可知~2,0.06YB，于是20.060.12EY．②Z的分布列为Z012P2942100CC116942100CCC262100CC故211294694622210010010030120.1225CCCCEZCCC．6．某校高三年级共有学生1200人，经统计，所有学生的出生月份情况如表：月份123456789101112人数180110120160130100805090705060（1）从该年级随机选取一名学生，求该学生恰好出生在上半年(1-6月份)的概率；（2）为了解学生考试成绩的真实度，也为了保护学生的个人隐私，现从全体高三学生中随机抽取120人进行问卷调查，对于每个参与调查的同学，先产生一个0,1范围内的随机数a，若0.4