【新高考复习】专题07 不等式-备战2019年高考数学（文）之纠错笔记系列（解析版）

易错点1忽视不等式隐含条件致误设2()fxaxbx，若1≤(1)f≤2,2≤(1)f≤4，则(2)f的取值范围是________．【错解】由1(1)22(1)4ff得1224abab①②，①＋②得：332a，②−①得：112b.由此得4≤(2)f=4a−2b≤11，所以(2)f的取值范围是[4,11]．【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了(2)f的范围扩大．【试题解析】解法一：设(2)f=m(1)f＋n(1)f(m、n为待定系数)，则4a−2b=m(a−b)＋n(a＋b)，即4a−2b=(m＋n)a＋(n−m)b，于是得42mnnm，解得31mn.∴(2)f=3(1)f＋(1)f．又∵1≤(1)f≤2,2≤(1)f≤4，∴5≤3(1)f＋(1)f≤10，即5≤(2)f≤10.解法二：由(1)(1)fabfab，得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2affbff，∴(2)f=4a−2b=3(1)f＋(1)f．又∵1≤(1)f≤2,2≤(1)f≤4，∴5≤3(1)f＋(1)f≤10，即5≤(2)f≤10.解法三：由题意，得1224abab，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当(2)f=4a−2b过点31(,)22A时，取得最小值3142522；当(2)f=4a−2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤(2)f≤10.【答案】[5,10]（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．1．已知，满足11123，则3的取值范围是A．1,7B．5,13C．5,7D．1,13【答案】A【名师点睛】本题考查待定系数法，考查不等式的基本性质，属于基础题．该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．学科%网易错点2忽略不等式性质成立的条件给出下列命题：①若,0abc,则ccab；②若33acbc，则ab；③若ab且*kN,则kkab；④若0cab,则abcacb其中正确命题的序号是【错解】①11abab,又0c,则ccab，故①正确；②当0c时，ab,故②不正确；③正确；④由0cab知0cacb,∴110cacb，故aabcacbcb,故④不正确.故填①③不等式的性质的几点注意事项(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，bc⇒ac.(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有ab⇒ac2bc2；若无c≠0这个条件，ab⇒ac2bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．(3)“ab0⇒anbn(n∈N*，n1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，ab0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－12－1”的错误结论；假如去掉“b0”这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32(－4)2”的错误结论．2．下列不等式中，正确的是A．若,abcd，则acbdB．若ab，则acbcC．若,abcd，则acbdD．若,abcd，则abcd【答案】A【名师点睛】本题考查不等式的性质，注意正、负号的应用.根据不等式的性质和代特殊值逐一排除即可.错点3忽略对二次项系数的讨论导致错误已知关于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0恒成立，则m的取值范围为______________．【错解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立，学科%网所以m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．故实数m的取值范围为(－∞，0)．【错因分析】由于本题中x2的系数含有参数，且当m＝0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m的值是否为0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解．【试题解析】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立，当m＝0时，－1＜0恒成立；当m≠0时，易知m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．综上，实数m的取值范围为(－∞，0]．【答案】(－∞，0]解一元二次不等式的一般步骤一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．二判：计算对应方程的判别式．三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．3．已知命题“2,10xaxaxR”为真命题,则实数a的取值范围是__________.【答案】0,4【名师点睛】不等式20axbxc＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a＝时，0,0bc＝或当0a时，00a；不等式20axbxc＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a＝时，0,0bc＝或当0a时，00a．解不等式恒成立问题的技巧(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.易错点4解含参不等式时不能正确分类导致错误解不等式(2)1()1axaxR．【错因分析】显然当a＝0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非同解变形，因为a－1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a－1＞0时的情况．【试题解析】显然当0a时，原不等式是不成立的．学科……网当a≠0时原不等式可化为(2)101axx，即(2)(1)01axxx，等价于[(1)(21)](1)0axax(*)，当1a时，(*)式可转化为(1)0x，即10x，即1x．当1a时，(*)式可转化为21()(1)01axxa．当1a时，(*)式可转化为21()(1)01axxa．又当1a时，21111aaaa，所以当1a或0a时，2111aa；当01a时，2111aa．综上，当1a时，原不等式的解集为{|1xx或21}1axa；当1a时，原不等式的解集为{|1}xx；当01a时，原不等式的解集为21{|1}1axxa；当0a时，原不等式的解集为；当0a时，原不等式的解集为21{|1}1axxa．在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错．4．已知21210mxmx，其中02m.（1）解关于x的不等式；（2）若1x时，不等式恒成立，求实数m的范围.【答案】（1）见解析；（2）12m.【名师点睛】（1）本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.（2）解答第2问的关键是转化，先转化为110mx恒成立，再转化为11mx恒成立，即得m的取值范围.解含有参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.易错点5不能准确把握目标函数的几何意义致误设变量x，y满足约束条件22024010xyxyx，则目标函数z=3x−2y的最小值为A．−5B．−4C．−2D．3【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z=3x−2y平移到过点(1,0)时取得最小值，即zmin=3×1−2×0=3.故选D.【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致目标函数的最小值求解错误．【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x−2y=z平移到过点(0,2)时，z=3x−2y的值最小，最小值为−4，故选B.形如z=Ax＋By(B≠0)，即AzyxBB，zB为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．5．若实数x，y满足约束条件2,239,0,xyxyx则22zxy的最大值是A．10B．4C．9D．10【答案】D【解析】由实数x，y满足约束条件2,239,0,xyxyx作出可行域，如图.学.科网03A，，02C，，联立2239xyxy解得31B，，22xy的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值为2223110OB.故选D.【名师点睛】本题主要考查了简单的线性规划和二元一次不等式组，在求目标函数的最值时根据22zxy的几何意义，将其转化为点到点距离的平方，从而得到结果易错点6忽略等号成立的一致性导致错误若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11xy的最小值为_______________．【错解】因为x＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥22xy，即8xy≤1，即xy≤18，故1xy≥8．因为11xy≥12xy，所以11xy≥2842．故11xy的最小值为42．连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．6．若正数,xy满足40xyxy，则3xy的最大值为A．13B．38C．37D．1【答案】A【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.一、不等关系与不等式1．比较大小的常用方法（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若ab,bc,则ac，其中b是a与c的中介值.②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.2．不等式的性质及应用（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．3．求代数式的取值范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.二、一元二次不等式及其解法1．解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．（2）