2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题6 第1讲　直线与圆

第1讲直线与圆[考情分析]1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.例1(1)(2022·常德模拟)已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若l1∥l2，则有－a2＋4＝0，解得a＝±2，当a＝2时，l1：2x－4y－3＝0，l2：x－2y＋1＝0，l1∥l2，当a＝－2时，l1：2x＋4y＋3＝0，l2：x＋2y＋1＝0，l1∥l2，所以若l1∥l2，则a＝±2，所以“a＝2”是“l1∥l2”的充分不必要条件．(2)(2022·济宁模拟)已知直线l1：kx＋y＝0过定点A，直线l2：x－ky＋22＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为______．答案26解析由l1：kx＋y＝0，得l1过定点A(0,0)，由l2：x＋22＋k(2－y)＝0，得l2过定点B(－22，2)，显然k×1＋1×(－k)＝0，即l1，l2相互垂直，而l1与l2的交点为C，即AC⊥BC,又|AB|＝23，∴|AC|2＋|BC|2＝12，∴(|AC|＋|BC|)2＝12＋2|AC|·|BC|≤12＋(|AC|2＋|BC|2)＝24，∴|AC|＋|BC|的最大值为26，当且仅当|AC|＝|BC|＝6时，等号成立．∴|AC|＋|BC|的最大值为26.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1(1)已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a的值是()A．1B．－1C．－2或1D．2或1答案D解析当a＝0时，直线y＝2，此时不符合题意，应舍去；当a≠0时，由直线l：ax＋y－2＋a＝0可得，横截距为2－aa，纵截距为2－a.由2－aa＝2－a，解得a＝1或a＝2.经检验，a＝1,2均符合题意，故a的值是2或1.(2)若直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x＋my＋1＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为________．答案510解析由直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：2x＋my＋1＝0平行，可得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4，故两直线可化为l1：2x－4y＋2＝0，l2：2x－4y＋1＝0，故直线l1与l2之间的距离为d＝|2－1|22＋42＝510.考点二圆的方程核心提炼1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F0，表示以－D2，－E2为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．例2(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2答案D解析因为圆心在直线y＝－x上，设圆心坐标为(a，－a)，因为圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，所以|a＋a|2＝|a＋a－4|2，解得a＝1，所以圆心坐标为(1，－1)，又|1＋1|2＝R，所以R＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.(2)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(1,0)，C(0，3)，动点P满足|PA|＝2|PB|.则点P的轨迹方程为________________．△PAC的面积的最大值为________．答案(x－3)2＋y2＝823＋22解析设点P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得|PA|2＝2|PB|2，即(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，化简可得(x－3)2＋y2＝8，∴点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8，圆心为(3,0)，半径r＝22.直线AC的方程为3x－y＋3＝0，圆心(3,0)到直线AC的距离为33＋33＋1＝23，∴点P到AC的最大距离为23＋22，又|AC|＝2，∴(S△PAC)max＝12×2×(23＋22)＝23＋22.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2(1)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析方法一设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2a＋b－1＝0，3－a2＋b2＝r2，a2＋1－b2＝r2，解得a＝1，b＝－1，r2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法二设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M－D2，－E2，∴2·－D2＋－E2－1＝0，9＋3D＋F＝0，1＋E＋F＝0，解得D＝－2，E＝2，F＝－3，∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，则kAB＝1－00－3＝－13，AB的中点坐标为32，12，∴AB的垂直平分线方程为y－12＝3x－32，即3x－y－4＝0.联立3x－y－4＝0，2x＋y－1＝0，解得x＝1，y＝－1，∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.(2)直线l过定点(1，－2)，过点P(－1,0)作l的垂线，垂足为M，已知点N(2,1)，则|MN|的最大值为________．答案32解析设点A(1，－2)，依题意知AM⊥PM，所以点M的轨迹是以AP为直径的圆，圆心C的坐标为(0，－1)，半径为R＝12|AP|＝2，又N(2,1)为圆外一点，所以|MN|max＝|NC|＋R＝2－02＋1＋12＋2＝32.考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系例3(1)(2022·南通模拟)在平面直角坐标系中，已知直线ax－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2x－3＝0交于A，B两点，若钝角△ABC的面积为3，则实数a的值是()A．－34B．－43C.34D.43答案A解析由圆C：x2＋y2－2x－3＝0，可得圆心坐标为C(1,0)，半径为r＝2，因为钝角△ABC的面积为3，则S△ABC＝12×2×2sin∠ACB＝3，解得sin∠ACB＝32，所以∠ACB＝2π3，可得|AB|＝23，又由圆的弦长公式，可得24－d2＝23，解得d＝1，根据点到直线ax－y＋2＝0的距离公式d＝|a＋2|a2＋1＝1，解得a＝－34.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．答案13，32解析方法一由题意知点A(－2,3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2,2a－3)，所以kA′B＝3－a2，所以直线A′B的方程为y＝3－a2x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心坐标为(－3，－2)，半径为1，所以|－33－a＋－2×－2＋2a|3－a2＋－22≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32，所以实数a的取值范围是13，32.方法二易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点．直线AB的方程为y＝a－32x＋a，即(a－3)x－2y＋2a＝0，又对称圆的圆心坐标为(3，－2)，半径为1，所以|3a－3＋－2×－2＋2a|a－32＋－22≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32，所以实数a的取值范围是13，32.考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2022·武汉模拟)圆C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C2：(x－5)2＋y2＝16的公切线条数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析依题意得，圆C1的圆心C1(2,4)，半径R1＝3,圆C2的圆心C2(5,0)，半径R2＝4，|C1C2|＝2－52＋42＝5∈(1,7)，故圆C1与C2相交，有2条公切线．(2)(2022·益阳调研)已知直线l：x－y＋1＝0，若P为l上的动点，过点P作⊙C：(x－5)2＋y2＝9的切线PA，PB，切点为A，B，当|PC|·|AB|最小时，直线AB的方程为__________．答案x－y－2＝0解析⊙C：(x－5)2＋y2＝9的圆心C(5,0)，半径r＝3，∵四边形PACB的面积S＝12|PC|·|AB|＝2S△PAC＝|PA|·|AC|＝3|PA|＝3|PC|2－9，∴要使|PC|·|AB|最小，则需|PC|最小，当PC与直线l垂直时，|PC|最小，此时直线PC的方程为y＝－x＋5，联立y＝x＋1，y＝－x＋5，解得P(2,3)，则以PC为直径的圆的方程为x－722＋y－322＝92，则两圆方程相减可得直线AB的方程为x－y－2＝0.规律方法直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3(1)(2022·湖北七市(州)联考)已知直线l：kx－y－k＋1＝0，圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝16，则下列选项中不正确的是()A．直线l与圆C一定相交B．当k＝0时，直线l与圆C交于M，N两点，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最大值为77C．当直线l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为26D．若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48答案D解析直线l：kx－y－k＋1＝0过定点P(1,1)，因为(1－2)2＋(1＋2)216，所以点P在圆内，因此直线l一定与圆C相交，A正确；当k＝0时，直线为y＝1，代入圆的方程得(x－2)2＋9＝