2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性练习题详解

2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性练习题详解1．(2017·肇庆三模)在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lgx2－2，y＝xsinx中，偶函数的个数是()A．3B．2C．1D．0解：y＝xcosx为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lgx2－2与y＝xsinx为偶函数．故选B.2．下列函数不是周期函数的是()A．y＝sinxB．y＝|sinx|C．y＝sin|x|D．y＝sin(x＋1)解：y＝sinx与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，y＝|sinx|的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，其图由y＝sinx去掉y轴左侧图象，再将y轴右侧图象对折到左侧得到，故不是周期函数．故选C.3．(2016·成都检测)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f(2016)＋f(2017)＝()A．3B．2C．1D．0解：f(2016)＝f(3×672)＝f(0)＝0，f(2017)＝f(3×672＋1)＝f(1)＝1，所以f(2016)＋f(2017)＝1.故选C.4．若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则实数a＝()A．－1B．0C．1D．2解：因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即xln(x＋a＋x2)＝－xln(－x＋a＋x2)，所以x＋a＋x2＝1－x＋a＋x2，得a＝1.故选C.5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f（x），且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2017)＋f(2019)的值为()A．0B．－4C．－2D．2解：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f（x），所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－1f（1）＝－1，所以f(－2017)＋f(2019)＝0.故选A.6．(2016·广西五市二联)设定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝xex.若a＝f20153，b＝f20165，c＝f20177，则()A．bcaB．abcC．cabD．bac解：因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(2＋x)，即f(x)是以2为周期的周期函数．因为对任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．当x∈(0，1]时，f′(x)＝1－xex≥0，即函数f(x)在(0，1]上单调递增．又a＝f20153＝f671＋23＝f53＝f13，b＝f20165＝f403＋15＝f65＝f45，c＝f20177＝f288＋17＝f17，且17＜13＜45，所以c＜a＜b.故选C.7．函数f(x)＝ax2＋bsinx是定义在[a，a＋2]上的偶函数，则a＋b＝________.解：－a＝a＋2⇒a＝－1.f(x)＝－x2＋bsinx，由f(x)＝f(－x)⇒2bsinx＝0对任意x∈[－1，1]恒成立，则b＝0.故a＋b＝－1.故填－1.8．(2017·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sinπx，1＜x≤2，则f294＋f416＝________.解：由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f294＋f416＝f－34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sinπ6＝516.故填516.9．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式fxx－120的解集．解：因为y＝f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0.又因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，所以①0＜xx－12＜1或②xx－12＜－1，解①得1－174＜x＜0或12＜x＜1＋174.解②得∅.所以原不等式的解集是x|1－174＜x＜0或12＜x＜1＋174.10．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)解：f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以T＝8，又f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在[0，2]上是增函数，且f(x)≥0，所以f(x)在[－2，0]上也是增函数，且f(x)≤0，又x∈[2，4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数．同理f(x)在[4，6]上为减函数且f(x)≤0，从而可得y＝f(x)的大致图象如图所示．因为f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0.所以f(－25)＜f(80)＜f(11)，故选D.2020届高中数学第3页共3页