第03讲 等式与不等式的性质（五大题型）（讲义）（原卷版）

第03讲等式与不等式的性质目录考点要求考题统计考情分析1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用．2022年II卷第12题，5分高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．1、比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较ba0ba)0(1baba，或)0(1baba，ba0ba)0(1bbaba0ba)0(1baba，或)0(1baba，2、不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性abbaabba；传递性cacbbacacbba，；，可加性cbcaba可乘性bcaccbabcaccba00，；，同向可加性dbcadcca，同向同正可乘性bdacdcba00，可乘方性*0abnN，nnab【解题方法总结】1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．题型一：不等式性质的应用【解题方法总结】1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2、充分利用基本初等函数性质进行判断．3、小题可以用特殊值法做快速判断．例1．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知abc，0ac，则下列关系式一定成立的是（）A．2cbcB．0bcacC．abcD．2cbbc例2．（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数,,abc满足abc，且0abc，则下列说法正确的是（）A．11acbcB．2acbC．22abD．0abbc例3．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）若0abc，则下列结论正确的是（）A．aacbB．22aabcC．abbaccD．2acabbc题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式【解题方法总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若0,0ab，则1bbaa；1bbaa；1bbaa；若0,0ab，则1bbaa；1bbaa；1bbaa．例4．（2023·全国·高三专题练习）若0,1abab,则将221,,,2,2ababab从小到大排列为______.例5．（2023·全国·高三专题练习）如果ab，给出下列不等式：①11ab；②a3b3；③22ab；④2ac22bc2；⑤ab1；⑥a2＋b2＋1ab＋a＋b.其中一定成立的不等式的序号是________．例6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：baacbd；（2）设x，Ry，比较222xy与2()xyxy的大小.例7．（2023·全国·高三专题练习）（1）试比较15xx与23x的大小；（2）已知ab，11ab，求证：0ab．题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围【解题方法总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足322,124,xyxy则（）A．x的取值范围为(1,2)B．y的取值范围为(2,1)C．xy的取值范围为()3,3D．xy的取值范围为(1,3)例9．（2023·广东·高三校联考期末）已知31ba，37ab，则5ab的取值范围为（）A．15,31B．14,35C．12,30D．11,27例10．（2023·全国·高三专题练习）已知12a，14b，则2ab的取值范围是（）A．724abB．629abC．629abD．228ab例11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当0c时，23bac且2bca，则2acb的取值范围是____________．题型四：不等式的综合问题【解题方法总结】综合利用等式与不等式的性质例12．（多选题）（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知0a，0b，且满足41aab，51bba．则22ab的取值可以为（）A．10B．11C．12D．20例13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知2211xy，则（）A．1xyB．212xyC．1xxyD．254xxy例14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足11ab，则（）A．0.20230.2023loglogabB．33abC．11bbaaD．11abab的最小值为1例15．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值是__．题型五：糖水不等式【解题方法总结】糖水不等式：若0ba，0m，则一定有abmamb，或者bambma．例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知gb糖水中含有ga糖(0ba)，若再添加gm糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）A．aambbmB．22mmamabmbC．22ambmambmD．121313ba例17．（2023·山西·统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：bbmaam，其中ab，且a，b，mR．据此可以判断两个分数的大小关系，比如854366239998763421_________854366236998763418（填“＞”“＜”）．例18．（2023·福建·高三校联考阶段练习）若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为ba，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式bmbama(0ab，0m)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出3log2___________15log10(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.1．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足221xyxy，则（）A．1xyB．2xyC．222xyD．221xy2．（2019·全国·高考真题）若ab，则（）A．ln(a−b)0B．3a3bC．a3−b30D．│a││b│3．（2017·山东·高考真题）若ab0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．21log()2abaabbB．21log()2abababC．21log()2abaabbD．21log()2ababab